Matematické Fórum

↑ LukasM:
Já v tom pořád hledal nějaký chyták a teď mi došlo, že jsem si to asi špatně představil. Ta nádrž je asi postavená na podložku jako koryto, ne jako komín.

Napadlo mně trochu přitvrdit, přivedly mně k tomu úvahy kolegy ↑ Ospli: o ležatém sudu.

Máme válcovou nádobu úplně plnou vody, která ovšem na podložce leží (tj. opírá se o podložku pláštěm, ne podstavou). Otázka je stejná jako v původní úloze, tedy v jaké výšce máme udělat dírku, aby voda dostříkla co nejdál (díru budeme dělat do pláště, ne do podstavy). Předpokládáme, že voda bude stříkat vždy ve směru normály k ploše. Vzdálenost měříme od sudu, ne od díry. Pro názornost obrázek:


(omluvám se za kvalitu, ale na touchpadu a v tom zmrveném malování ve Win7 to předělávat už nebudu)


Zkoušel jsem to spočítat na papíře, ale dostal jsem se k tak ohavné rovnici, že nevím nevím.. Ještě se na ní podívám. WA mi to vyřešil numericky, ale zvládne to někdo nějak jednoduše ručně?

↑ LukasM:

Pokud vzdálenost, kam dostříkne voda, označím , poloměr sudu , označím úhel jako na obrázku



a zavedu proměnnou (vlastně jsem tak zavedl svislou souřadnici pro polohu otvoru, kde středu sudu odpovídá , horní hranici sudu a zemi ), tak mi vychází





To vede (pokud chceme najít maximum) na rovnici



Řešení, které nás zajímá, je numericky , resp. .

Edit: Ještě přikládám graf, jak daleko voda dostříkne (v jednotkách R) v závislosti na úhlu :



Červená křivka značí závislost vzdálenosti pokud bychom uvažovali, že proud vody stříká přímo a není gravitací ohýbán. Je vidět, že pro blížící se 180° se rozdíl mezi závislostmi stírá. To bychom očekávali, protože tlak je dole velký (výstupní rychlost je tedy velká) a gravitace ani nemá příliš času proud vody nějak ohnout.

↑ Pavel Brožek:
Ano, to jsme se ve výsledku shodli. Ta volba souřadnic a zavedení neznámé lambda každopádně vypadá celkem užitečně. Mně to nenapadlo, a počítal jsem víceméně otrocky, nějak jako pietro, a dostal se k této hrozné rovnici pro alfa, ale všechny úpravy i derivování jsem dělal ručně, což nebyl žádný med.
Tvé řešení vypadá jednodušeji, a i numerický výpočet polynomiální rovnice je patrně jednodušší, než řešit tu mou ohavnost. Takže díky.

Úlohu jsem sem dal proto, že mně trochu překvapilo jak je složitá. Když jsem začínal počítat, čekal jsem, že za 15 minut budu mít analytické řešení :-)