Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj.
Označme $M_n(\mathbb{Z})$ množinu všech matic n krát n nad celými čísly.
Máme dvě algebry: $\mathbb{A} = (M_n(\mathbb{Z}) , +)$ a $\mathbb{B} = (M_{2n}(\mathbb{Z}),\cdot )$ ,
kde + je obvyklé maticové sčítání a $\cdot$ je obvyklé maticové násobení.
Mám za úkol najít homomorfismus $\mathbb{A}$ do $\mathbb{B}$ , který je prostý.
Řešením je například zobrazení, které matici A přiřadí matici, která má na diagonále jedničky, v horní pravé čtvrtině je matice A a jinde nuly.
Nejde mi ani ověřit, že to je homomorfismus.
Můžete mi, prosím, pomoct?
A

Edit: úplně mi stačí to ověřit. Co mě nesedí je toto: sčítání je komutativní operace, ale násobení ne. Musí být proto image homomorfismu nějaká komutativní podalgebra algebry B. Akorát mi nepřijde, že navrhovaná věc vyhovuje.

FailED · 17. 11. 2011 23:30

Ahoj,

stačí roznásobit blokově:

$\left(\begin{array}{cc} 1 & A\\ 0 & 1 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 1 & B\\ 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & A+B\\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & B\\ 0 & 1 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 1 & A\\ 0 & 1 \end{array}\right)$

vanok · 17. 11. 2011 23:34 — Editoval vanok (17. 11. 2011 23:42)

Ahoj ↑ Andrejka3:,

Kde mas problem?

Mozno z nasobenim? Vsak na to staci pouzit blokove nasobenie matic v B.

Daj nejake detaily.

Ale sa mi zda ze toto je ti moze pomoct .

Mieste tvojeho navrhu mozes pozriet na toto:
Tvoja povodna matica na lavom hornom bloku a jednotkova (n,n) matica v pravom dolnom by ti dala jednoduche riesenie...

Andrejka3 · 17. 11. 2011 23:37

↑ FailED:
Děkuju!
Neuvědomila jsem si, že ty bloky A a B se navzájem vynulují a působí na něj jen jednotková matice :/
:)

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2011 23:07 — Editoval Andrejka3 (17. 11. 2011 23:19)

Najdi prostý homomorfismus algeber

#2 17. 11. 2011 23:30

Re: Najdi prostý homomorfismus algeber

#3 17. 11. 2011 23:34 — Editoval vanok (17. 11. 2011 23:42)

Re: Najdi prostý homomorfismus algeber

#4 17. 11. 2011 23:37

Re: Najdi prostý homomorfismus algeber

Zápatí