Matematické Fórum

Mihulik

Ahoj,
rád bych vás poprosil, jestli by se našla dobrá duše, která by mi zkontrolovala důkaz následujícího tvrzení:

"Pro každé k a l existuje uspořádaná množina P s n prvky, splňující $n=k\cdot l,\alpha (P)=k,\omega (P)=l$ ." Kde alfa je velikost nejdelšího antiřetězce a omega velikost nejdelšího řetězce.

Důkaz provedu sestrojením P.

Definuji si množinu $X=\{1,2,3,...,k\}$ a množinu $Y=\{1,2,3,...,l\}$ .
Množinu P definuji jako $P=X\times Y$ .
Zřejmě tedy $|P|=|X|\cdot |Y|=k\cdot l=n$ .

Na této množině definuji uspořádání takto:
$(a,b)\le^{\circ }(c,d)\Leftrightarrow a=c \wedge b\le d$ , kde $\le^{\circ }$ je mnou definované uspořádání.

Nyní ověřím, že mnou definované uspořádání je skutečně uspořádání.
(Důkaz je triviální z definice, a tak ho přeskočím.)
...
...
...
Splňuje všechny tři vlastnosti a je tedy uspořádání.

Nejdelší řetězec v P má tvar:
(pro pevné $a\in X$ ): (a, 1), (a,2),...,(a,l)
tedy $\omega (P)=l$

Nejdelší antiřetězec v P má tvar:
(pro pevné $b\in Y$ ): (1,b), (2,b),...,(k,b)
tedy $\alpha (P)=k$

Sestrojil jsem tedy množinu P, kde $n=k\cdot l,\alpha (P)=k,\omega (P)=l$ . Čímž jsem dokázal její existenci a tedy i pravdivost tvrzení.

Děkuji:)