Matematické Fórum

Verena · 18. 11. 2011 12:39

Vůbec nevím, co mám s tím příkladem počítat. Moc Vás laskavě prosím, zda byste laskavě pomohl. Děkuji moc.

kde $\varepsilon$ je kladné a takové, že $n^{1+\varepsilon } - \varepsilon$ se nerovná 0 pro $n \in N$ .

Rumburak

↑ Verena:

I. Když $\varepsilon > 0$ je tak malé , že žádný člen řady není záporný, pak pomůže věta zvaná integrální kriterium, které aplikováno na tuto úlohu říká,
že konvergence či divergence této řady je ve shodě s konvergencí či divergencí integrálu

(1) $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{1 + \varepsilon}-\varepsilon}$

(najdi si tuto větu, pozorně si přečti její předpoklady a ověř, že jsou splněny) .

I když integrál (1) asi nebudeš umět spočítat, bude možno ho odhadnout shora a ukázat, že konverguje.

II. Když předpoklad v I. nebude splněn na několika prvních členech, bude určitě splněn na zbytku řady pro n >= K s vhodnou konstantou K > 0.
Potom můžeme aplkovat IK na tento zbytek řady, který pak místo s integrálem (1) porovnáme s

$\int_K^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{1 + \varepsilon}-\varepsilon}$ .

Verena · 18. 11. 2011 13:30

Děkuji.
Počítala jsem s integrálním kritériem, vyšla mi nekonečno. Tj. divergentní.

Rumburak

↑ Verena:

Budeš tam mít chybu, protože měla vyjít konvergence:

Vezměme ten případ II., který je obecnější. Máme tedy $\varepsilon > 0$ . K němu najděme nejprve $A > 1$ takové, aby funkce

$f(x) := x^{1 + \varepsilon}-\varepsilon , x \in [A, +\infty)$

byla kladná a rostoucí , k čemuž stačí vzít libovolné $A > \varepsilon^{\frac{1}{1+\varepsilon}}$ , např. $A = \varepsilon^{\frac{1}{1+\varepsilon}} + 1$ .
V dalším předpokládejme, že $x \in [A, +\infty)$ , na tomto intervalu pak funkce $\frac {1}{f(x)}$ bude kladná a klesající.

Zřejmě $\lim_{x \to +\infty} x^{1 + \varepsilon} = +\infty$ a $\lim_{x \to +\infty}\frac{x^{1 + \varepsilon}}{x^{1 + \varepsilon}-\varepsilon} = 1$ , takže podle definice druhé limity:

ke kladnému číslu $\frac{1}{2}$ existuje $K > A$ takové, že pro každé $x \in [K, +\infty)$ je

$1 - \frac{1}{2} < \frac{x^{1 + \varepsilon}}{x^{1 + \varepsilon}-\varepsilon} < 1 + \frac{1}{2}$ ,

tedy

$0 < \frac{1}{2} < \frac{x^{1 + \varepsilon}}{x^{1 + \varepsilon}-\varepsilon} <\frac{3}{2}$ ,
$0 < \frac{1}{x^{1 + \varepsilon}-\varepsilon} < \frac{3}{2} \frac{1}{x^{1 + \varepsilon}}$ .

Proto

$0 < \int_K^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{1 + \varepsilon}-\varepsilon} < \int_K^{+\infty}\frac{3}{2} \frac{\mathrm{d}x}{x^{1 + \varepsilon}} = \frac{3}{2} \left[ -\frac{1}{\varepsilon} x^{-\varepsilon}\right]_K^{+\infty} = \frac{3}{2} \frac{1}{\varepsilon} K^{-\varepsilon} < +\infty$ .