Matematické Fórum

↑ Andrejka3:
Ahoj.
(Skrývám chybnou úvahu)

↑ Andrejka3:

Podobně jako vanok bych si chtěl ujasnit pojmy - co znamená, že dvě algebry jsou isomorfní? Čekal bych, že algebry a budou isomorfní, pokud existuje nějaký jejich isomorfismus. Přitom bijekce bude isomorfismus pokud pro každé dva prvky platí a zároveň . Je to tak?

↑ Pavel Brožek:
algebra (A, operace) má strukturu nosiče algebry (neprázdná množina A) a n-árních operací na nosiči.

Například (R, plus, krat, opacne cislo, nula) je algebra všech reálných čísel s operacemi binárními plus, krat, s unární operací přiřazení opačného čísla, nulární operací (konstantou) vybrání nuly. Říkáme, že tato algebra je typu (2,2,1,0). Ta čísla vyjadřují aritu příslušných operací.

Mějme A,B, dvě algebry stejného typu. (V mém problému to jsou algebry typu (2)). At f je zobrazení nosiče první algebry do nosiče druhé algebry.
Řekneme, že f je homomorfismus A,B , právě když přenáší všechny operace.
Takže pokud hvězdička je binární operací na A a plus je "odpovídající" binární operace na B, pak pro každé dva prvky a,b z A musí platit, že f(a hvězdička b) = f(a) plus f(b).
Pokud c je konstanta (nulární operace) na A a d je příslušná konstanta na B, pak musí být f(c) = d.
Analogicky pro operace jiné -arity

Řekneme, že zobrazení f mezi A, B je izomorfní, právě když je to homomorfismus A,B a zároveň bijekce A,B.
Dvě algebry jsou izomorfní, právě když existuje izomorfismus A,B.

V mém případě požaduji jen bijekci nosičů a přenášení operace krát. O žádných dalšísh strukturách není řeč (ani o sčítání, ani o uspořádání).

↑ Pavel Brožek:
Takže ano, přesně tak, jen předpokládáš, že obě algebry mají dvě binární operace.
Specifikovala jsem (samozřejmě, že chápu, že to nebylo zřejmé), že algebry v příkladu mají jen jednu operaci - násobení (obvyklé). Stačí tedy přenést tuto jednu operaci.

Izomorfismy zachovávají algebraické struktury - jde v podstatě jen o přejmenování prvků.
Pozorování:
Pro všechna m přirozená je mohutnost množiny m.N stejná.
Pro všechna m neexistuje konečná podmnožina mN, která generuje mN.
Pro každé m větší než, nemá mN neutrální prvek pro násobení.
Existují zvláštní prvky - takové, které nelze zapsat jako výsledek binární operace na jiných prvcích tj. cisla z mnoziny mN minus Image(operace .). Např. pro mN jsou to takové, které nejsou dělitelné m^2.
Izomorfismus musí tuto strukturu zachovat. To je jen důsledek jeho definice. Plyne aspon z toho to, že význačné prvky o nichž jsem psala se musí zobrazit na význačné prvky druhé algebry.
Třeba 2N a 3N. Tak prvky z 2N, které nedělí čtyřka (2^2) musí mít jako obraz číslo, které není dělitelné devíti (3^2).

↑ check_drummer:
ANO :)
To je hezky napsané to, co jsem tak složitě snažila popsat výše.

↑ vanok:
A jak vypadá obraz čísla 6?

↑ Pavel Brožek:
Myslím, že to není přesné.
Může se stát, že když mocniny jsou různé, nemusí být obraz v množině, kam ho chceme zobrazit.
Např. 2N, 9N pak  f(2) = 3

↑ Andrejka3:,
Mas pravdu vytvoril som podstrukrury z 2N a 4N,


Nasobenie da tento homomozphismus

2 ma obraz 4 (posielam najmensi prvok na najmensi v  structure 4N)
4=2x2 musi mat a potom obraz 4x4=16,(isomorfismus)
Ale potom 8 nema predobraz.
Tak tie dve struktury nie su isomorficke.

Inac v tvojom prvom prispevku  si napisala, pre m, n prvocisla nN à mN su isomorficke, mozes mi napisat co to dalo pre n= 2 a m=3?

↑ vanok:
No, Tvůj návrh nebyl úplný, ale pořád mi to nepřijde jako důkaz toho, že nejsou izomorfní.
Vlastně kolega nejspíš vyřešil ten problém za mně, když našel izomorfismus pro dvě nesoudělná čísla. Pak už jen stačí využít ekvivalence relace býti izomorní.
Jen by bylo fajn, kdyby ještě někdo napsal, zda souhlasí nebo ne.
Všechno si samozřejmě ještě pořádně napášu a pravda snad vyjde najevo.

↑ Pavel Brožek:
Tak nepostupovala jsem přesně podle návodu ale výsledek je asi stejný:
f(2^i.a) = 4^i.a
kde a neobsahuje v rozkladu 2.
Je ale zvláštní, že nás to nenapadlo hned. Když to je tak jednoduché.
Taky mě to trochu překvapilo, vzhledem k tomu, jaká cesta k tomu vedla.
Nebo že jsme nejdříve chtěli nesoudělnost.
EDIT: ano je výsledek stejný.
Díky za pomoc. Jsem nadšená. Sice to není obzvlášť zajímavá struktura, ale závěr je hezký.

↑ Andrejka3:

f(2^i.a) = 4^i.a

Tohle podle mě není isomorfismus. Jaké by bylo inverzní zobrazení - neodpovídala by dvě čísla ?

↑ Pavel Brožek:
Obraz 16 z 2N je 4^4 z 4N, protoze 16 = 2^4
Vzor 8 z 4N: 8 = 4^1 . 2, tedy vzor = 2^1 .2 patrici do 2N.