Matematické Fórum

nanny1 · 19. 11. 2011 10:59

Dobrý den,
řeším příklad lim x->0 ((3^x + 5^x )/ 2)^1/x. Ve Wolframu vychází sqrt15, k tomuto řešení jsem došla, ale nejsem si jistá, jestli správně. Postupovala jsem takto: exp(1/x . ln ((3^x + 5^x)/2)) = exp(1/2x . ln(e^x.ln3 + e^x.ln5)) = exp(1/2x . x . ln15) = exp(1/2 . ln15) = 15^1/2
Problém je v té dvojce, kterou jsem vytkla z logaritmovaného výrazu...To asi vůbec takhle nejde, co? Neexistuje něco jako vytknutí konstanty před logaritmus? Hledala jsem, ale nenašla. Omlouvám se, mám uměleckou SŠ, kde matematika vůbec nebyla, učila jsem se rok sama, ale hodně tápu.. Budu vděčná za každou radu.

halogan · 19. 11. 2011 12:17

Bohužel to vytknutí není správně.

Můžu ti nabídnou relativně sofistikované řešení, ale za předpokladu, že znáš následující dvě limity a větu o limitě složené funkce.

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\text{exp}\,x - 1}{x} = 1$

nanny1 · 19. 11. 2011 12:41

Tyhle limity znám, větu o limitě složené funkce taky (ale zatím je to pro mě dost abstraktní...), ale jak to použít na tenhle příklad mě teda nenapadá..

halogan · 19. 11. 2011 12:50

Ok, skvělý.

Budeme počítat jen limitu

$\lim_{x \to 0} \frac 1x \log $\frac{3^x + 5^x}{2}$$

A výsledek umocníme na e, to se dá ošetřit přes limitu složené funkce a spojitost exponenciely.

Teď jak na to... v tom logaritmu vidíme, že nám jde argument k jedničce (pouhým dosazením). Můžeme tedy využít tu první tabulkovou limitu s tím, že celý výraz v limitě rozšíříme výrazem "(A - 1)/(A - 1)", kde A je ten argument logaritmu. Je jasné, kam tím mířím v tomto kroku?

Až se zbavíme logaritmu (přes aritmetiku limit), budeme moci využít druhou limitu, kterou jsem zmiňoval. Ale to trochu předbíhám.

nanny1 · 19. 11. 2011 13:12

Zbavila jsem se logaritmu a zbylo mi 1/x*(1/((3^x + 5^x/2)-1)))..Je to tak? Teď by se asi hodilo vyjádřit jmenovatel jako exp a vydělit ho výrazem (3^x+5^x)/2..?

halogan · 19. 11. 2011 13:14

Tam je nějak moc závorek. Navíc to nevypadá dobře

Mělo by zbýt něco jako

$\frac 1x $\frac{3^x + 5^x}{2} - 1$$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

halogan · 19. 11. 2011 13:30

↑ nanny1:

To 1/x je mimo tu závorku, takže pokud roznásobíte, musíte to pronásobit i tou jedničkou. Je lepší ale nejprve převést na společného jmenovatele.

$\frac 1x $\frac{3^x + 5^x - 1 - 1}{2}$$

(vše je limitně, píšu to nesprávně a zjednodušeně)

nanny1 · 19. 11. 2011 13:42

Zbavila jsem se exponenciál a zbylo mi ln3*5/2, výsledek je teda exp(ln15/2)? Je to už dobře?

halogan · 19. 11. 2011 13:43

To ale nesouhlasí s výsledkem z WA, ne?

Zkuste to ještě jednou. Bude třeba rozdělit to na dvě limity a využít tu tabulkovou zmíněnou výše.

nanny1 · 19. 11. 2011 14:04

Ach jo, tak už fakt nevím, co zase dělám blbě :((( Rozdělila jsem to na součet dvou limit:
lim x->0 ((1/x)((exp(x*ln3)-1)/(x*ln3) * ((x*ln3)/2) + lim x->0 to samé, jen s ln5, x se vykrátí a zbyde (ln3/2)+ln(5/2)...?

halogan · 19. 11. 2011 14:12

↑ nanny1:

Skoro!

Doporučuju tu dvojku ze jmenovatele úplně vyhodit ven.

Vyjde vám pak

$\frac 12 \left(\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{exp}\, (x \log 3) - 1}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{exp}\, (x \log 5) - 1}{x}\right)$

nanny1 · 19. 11. 2011 14:20

Mám to! Konečně vyjde 15^(1/2). Děkuju strašně moc! :)

halogan · 19. 11. 2011 14:24

Supr, označuju jako vyřešené.

Mějte se.

Matematické Fórum

#1 19. 11. 2011 10:59

Limita

#2 19. 11. 2011 12:17

Re: Limita

#3 19. 11. 2011 12:41

Re: Limita

#4 19. 11. 2011 12:50

Re: Limita

#5 19. 11. 2011 13:12

Re: Limita

#6 19. 11. 2011 13:14

Re: Limita

#7 19. 11. 2011 13:30

Re: Limita

#8 19. 11. 2011 13:42

Re: Limita

#9 19. 11. 2011 13:43

Re: Limita

#10 19. 11. 2011 14:04

Re: Limita

#11 19. 11. 2011 14:12

Re: Limita

#12 19. 11. 2011 14:20

Re: Limita

#13 19. 11. 2011 14:24

Re: Limita

Zápatí