Matematické Fórum

mischell90

Ahoj, mám rovnici: $y'' - y' = x$ , metodou neurčitých koeficientů máme určit obecné řešení rovnice.

Homogenní rovnice: $y''-y' = 0$

Charakteristická rovnice: $\lambda ^2-\lambda =0$
Charakteristické kořeny: $\lambda_1=0$ a $\lambda_2=1$

$\bar{y} = C_1 + C_2\cdot e^x$ Je toto obecné řešení?

Myslíte, že takhle to stačí vyřešit nebo mám řešit ještě něco jiného? Děkuji za každou radu:)

lukaszh · 19. 11. 2011 15:23

↑ mischell90:

Samozrejme, že nestačí. Však tá tebou nájdená funkcia vôbec nevyhovuje pôvodnej rovnici. Vyhovuje iba homogénnej. Označme toto homogénne riešenie $y_H(x)$ . Treba ešte nájsť nejaké nehomogénne riešenie

$y_{N}=y_{N}(x)$

Všeobecné riešenie bude kombináciou týchto dvoch

$y(x)=y_{H}(x)+y_{N}(x).$

mischell90

$y_N(x) = (Ax+B)\cdot x = Ax^2+Bx$
$y_N'(x) = 2Ax+B$
$y_N''(x) = 2A$

$2A-2Ax+B = x$
$A=-\frac{1}{2}$ a $B=1$

$y_N(x) = -\frac{1}{2}x^2+x$
$y(x) = C_1\cdot e+C_2\cdot e^x - \frac{1}{2}x^2+x$ takže toto je obecné řešení?