Matematické Fórum

john239 · 19. 11. 2011 19:13

Zdravím všechny,

prosím Vás dostal jsem za úkol vyřešit zda jsou dané vektory lineárně závislé či nezávislé a měl jsem to ověřit dvěma způsoby pomocí maticového počtu což mi vyšlo úplně bezproblémově a druhým způsobem pomocí definice lineární závislosti a nezávislosti ale bohužel zaseknul jsem u řešení soustavy kterou jsem si dle definice sestavil. Zkoušel jsem z první rovnice vyjádřit a1 a dosadit do další pomocí dosazovací metody ale vůbec mi to nevycházelo prosím Vás mohli byste mi poradit jak mám postupovat? Děkuji mockrát

Zadání viz obrázek:

((:-)) · 19. 11. 2011 19:18 — Editoval ((:-)) (19. 11. 2011 19:25)

↑ john239:

Tvoj postup by mal fungovať...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

john239 · 19. 11. 2011 19:21

↑ ((:-)):

to už jsem také vlastně zkoušel pokaždé jsem do nějakým způsobem zamotal dalo by se využít toho, že v té první rovnici je člen a2 nulový? právě nevím jakým vhodným způsobem začít ja už to počítal několikrát, ale nikdy jsem se nedostal bohužel k výsledku

((:-)) · 19. 11. 2011 19:23 — Editoval ((:-)) (19. 11. 2011 19:24)

↑ john239:

Robila som to ako píšem vyššie - tak ako Ty. Čo Ti vyšlo po dosadení do druhej rovnice za $a_1$ ?

john239 · 19. 11. 2011 19:24

↑ ((:-)):

oka supr tak ja to zkusím spočítat jak vy říkáte děkuji za nápovědu já teď na to koukám měl jsem tu přepis moje chyba nepozornosti dejte mi chvilku prosím

john239 · 19. 11. 2011 19:37

↑ john239:

zkoušel jsem postupovat dále ještě ale nevím co stále dělám za chybu ale jak jste psala v tom prvním kroku to ze jste vyjadrila a1 tak jsem to udelal take a dosadil do druhe rovnice a vysledek se schodujeme ale zatim dál mi to nejaknevychazelo :-(

ted jsem v tomto stadiu

((:-)) · 19. 11. 2011 19:47

↑ john239:

Super - Teraz do ďalšej rovnice dosaď aj za $a_1$ , aj za $a_2$ .

john239 · 19. 11. 2011 20:00

↑ ((:-)):

děkuji už mi to také vyšlo přešne jak jste psala a jak ještě určím zda jsou lineárně závislé či nezávislé?

((:-)) · 19. 11. 2011 20:09 — Editoval ((:-)) (19. 11. 2011 20:10)

↑ john239:

No - to je tak, že vektory sú lineárne nezávislé práve vtedy, ak takáto sústava má jediné riešenie, a to samé 0...

$(a_1;a_2;a_3;a_4)=(0;0;0;0)$

john239 · 19. 11. 2011 20:16

↑ ((:-)):

ok tak to chápu dobře ž v mém případě jsou Lineárně závislé? když mi v soustavě nevyšly samé nuly.

((:-)) · 19. 11. 2011 20:19 — Editoval ((:-)) (19. 11. 2011 20:20)

↑ john239:

Vyšli - aspoň mne.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Tebe to ako vyšlo?

john239 · 19. 11. 2011 20:21

↑ ((:-)):

jo tak to mam takle dobře dobře už to chápu děkuji mockrát :-)

((:-)) · 19. 11. 2011 20:24

↑ john239:

:-)

Nech sa Ti darí ...

john239 · 19. 11. 2011 20:46

↑ ((:-)):

Mohl bych mít jěště dotaz? Omlouvám se, ale podle řešení pomocí lineární závislosti a nezávislosti což jsme teď řešili nám vyšlo že vektory jsou lineárně nezávislé a pomocí řešení maticového počtu mi vyšlo že jsou vektory lineárně závislé viz řešení níže tak teď nevím kde je chyba výsledky obou metod řešení by se měli schodovat ale bohužel tomu tak není :-( tak teď tápu

řešení pomocí maticového počtu:

john239 · 20. 11. 2011 16:34

pomůže mi prosím někdo?

((:-)) · 20. 11. 2011 16:53 — Editoval ((:-)) (20. 11. 2011 17:25)

↑ john239:

Naozaj sú závislé - aj podľa tej včerajšej sústavy, prirodzene.

Niekde som sa musela pomýliť, lebo mne včera vyšlo $a_4 = 0$

$a_1 + 0a_2 + 2a_3 -a_4 =0$ odtiaľ $a_1=\color{red}a_4-2a_3$
$a_1 + a_2 + 3a_3 -a_4 =0$
$2a_1 + 4a_2 -a_3 +7a_4 =0$
$3a_1 + 5a_2 -a_3 +9a_4 =0$

Dosadím za $a_1$ do druhej rovnice:

$\color{red}a_4-2a_3\color{black} + a_2 + 3a_3 -a_4 =0$ , odtiaľ $a_2 =\color{blue} -a_3$

Dosadím do zvyšných dvoch rovníc za $a_1$ aj za $a_2$ :

$2(\color{red}a_4-2a_3\color{black})+4(\color{blue} -a_3)\color{black}-a_3+7a_4=0$

$3(\color{red}a_4-2a_3\color{black})+5(\color{blue} -a_3)\color{black}-a_3+9a_4=0$

Po úprave:

$2a_4 - 4a_3 -4a_3 -a_3 +7a_4 = 0$

$3a_4 - 6a_3 -5a_3 -a_3 +9a_4 = 0$

A ďalej:

$-9a_3+9a_4=0$ a odtiaľ $a_3 = a_4$

$-12a_3+12a_4=0$ , odtiaľ tiež $a_3 = a_4$

Neznámu $a_4$ môžeme teda považovať za parameter a sústava má tým pádom nekonečne veľa riešení tvaru $(-a_4;-a_4;a_4;a_4)$ , kde za $a_4$ môžeme zvoliť ktorékoľvek nenulové reálne číslo... (skúšala som pre číslo 1)

Záver:

Nie je pravda, že riešením sústavy je len jediná štvorica $(0;0;0;0)$ , dané vektory sú teda lineárne závislé...

Mrzí ma ten omyl, neviem, ako sa to stalo - zrejme nejaká nepozornosť... Prepáč.

john239

↑ ((:-)):

děkuji mockrát ja právě toto mě úplně zarazilo já si ještě ověřoval zdali jsem správně upravil matici na schodovitý tvar a opravdu ano hodnost matice je 3 a z toho plyne že jsou lineárně závislé ale podle řešení pomocí definici lineární závislosti a nezávislosti jak jsme už řešili nám vyšlo že jsou lineárně nezávislé z toho důvodu že všechny členy soustavy vyšli rovny 0 teď mě ještě napadá kontroloval jsem zápis vektorů jak do matice tak do soustavy rovnic ale to by taky mělo být správně ne?

john239

↑ ((:-)):

ano děkuji není vůbec za se omlouvat já jsem rád že jste mi pomohla mu jak říkate mě právě když jsem počital $a_4$ tak mi na konci vyšlo $0a_4=0$ což je nekonečně mnoho řešení a tedy $a_4$ je parametr za které si můžeme zvolit jakékoliv nenulové reálné číslo jak jste psala a řešení bude v tomto tvaru $(-a_4;-a_4;a_4;a_4)$ a protože si můžeme za $a_4$ zvolit libovolné reálné číslo tak proto jsou vektory lineárně závislé... chápu to prosím dobře?

((:-)) · 20. 11. 2011 17:53

↑ john239:

Áno - výborne...

Ten tvar vektora $(-a_4;-a_4;a_4;a_4)$ vznikol z predchádzajúcich vzťahov pre $a_1,a_2,a_3$

john239 · 20. 11. 2011 17:55

↑ ((:-)):

Paráda děkuji Vám mockrát mooc jste mi pomohla já si to jěšte přepíši znovu propočítám, ale teď už vím ještě jednou moc děkuji :-)

((:-)) · 20. 11. 2011 17:56

↑ john239:

Maj sa pekne a nech sa Ti darí... :-)

Matematické Fórum

#1 19. 11. 2011 19:13

Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#2 19. 11. 2011 19:18 — Editoval ((:-)) (19. 11. 2011 19:25)

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#3 19. 11. 2011 19:21

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#4 19. 11. 2011 19:23 — Editoval ((:-)) (19. 11. 2011 19:24)

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#5 19. 11. 2011 19:24

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#6 19. 11. 2011 19:37

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#7 19. 11. 2011 19:47

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#8 19. 11. 2011 20:00

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#9 19. 11. 2011 20:09 — Editoval ((:-)) (19. 11. 2011 20:10)

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#10 19. 11. 2011 20:16

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#11 19. 11. 2011 20:19 — Editoval ((:-)) (19. 11. 2011 20:20)

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#12 19. 11. 2011 20:21

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#13 19. 11. 2011 20:24

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#14 19. 11. 2011 20:46

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#15 20. 11. 2011 16:34

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#16 20. 11. 2011 16:53 — Editoval ((:-)) (20. 11. 2011 17:25)

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#17 20. 11. 2011 17:09 — Editoval john239 (20. 11. 2011 17:14)

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#18 20. 11. 2011 17:44 — Editoval john239 (20. 11. 2011 17:46)

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#19 20. 11. 2011 17:53

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#20 20. 11. 2011 17:55

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

#21 20. 11. 2011 17:56

Re: Lineární závislot a nezávislot vektorů - (problém se soustavou)

Zápatí