Matematické Fórum

rendy139 · 20. 11. 2011 17:34

Nevím si rady s tímto příkladem: V lichoběžníku ABCD o základně AB=8cm je dán průsečík úhlopříček X a v trojúhelníku ABX, výška v1= 3cm na stranu AB. Určete délku základny CD, je-li P=27j^2
Moc děkuju. :-)

((:-)) · 20. 11. 2011 17:51

↑ rendy139:

Vyšla mi 4.

rendy139 · 20. 11. 2011 17:58

↑ ((:-)): Dobrý den, děkuji. Nemohla byjste mi prosím ještě poslat postup. Nevím si rady. Děkuji :-)

((:-)) · 20. 11. 2011 18:00 — Editoval ((:-)) (20. 11. 2011 18:29)

↑ rendy139:

Nie som si istá, či to je dobre a ak áno, či moje riešenie je najjednoduchšie...

Trojuholník CXD je podobný s trojuholníkom AXB.

Koeficient ich podobnosti nech je $k$ . Potom z podobnosti platí $|CD|=k|AB|$ .

Ďalej z podobnosti vyplýva, že výška trojuholníka CDX je k - násobkom výšky trojuholníka ABX, platí pre ňu teda , že jej dĺžka je $\color{magenta}3k$ a dĺžka výšky lichobežníka je $3+3k$ .

Ďalej platí, že obsah lichobežníka sa skladá z obsahov 4 trojuholníkov: ADX, ABX, BCX a CDX.

Obsah trojuholníkov ADX + BDX sa rovná $\color{red}S_{ABC}+S_{ABD}-2S_{ABX}$ . Pritom $S_{ABX} =\color{blue}12 \,\,\text {cm}^2$ .

Celkovo teda:

$27 = \frac{8k\cdot\color{magenta} 3k}{2}+\color{red}2\frac{8(3+3k)}{2}-24\color{black} +\color{blue}12$

Odtiaľ $k = 0,5$