Matematické Fórum

kyborg · 21. 11. 2011 15:57

Ahoj
mam nasledujicí příklad:
Ověřte, že platí: 3 dělí (41^97 - 26^79).

Mělo by to jít vypočítat i nějak jinak, než "hrubou silou". Mě ale vůbec nenapadá jak. Jestli někdo víte, prosím napovězte.
Dik

Anonymystik

↑ kyborg: Pokud dvě celá čísla dávají stejný zbytek po dělení trojkou (obecně číslem n), pak i jejich libovolné stejné mocniny dávají stejný zbytek. Takže např. $14^{10}$ dává po třemi stejný zbytek jako $2^{10}$ , protože 2 a 14 dávají stejný zbytek po dělení třemi. Tím ses zbavil vysokých čísel mimo exponent. Tím jsme redukovali úlohu na jednodušší - urči zbytek po dělení trojkou u čísla $2^{97} - 2^{79}$ . To však už není příiš těžké. Stačí si uvědomit, že když je exponent lichý, vyjde zbytek 2, když je sudý, vyjde zbytek 1. Proto $2^{97}$ i $2^{79}$ dává zbytek 2. Pokud obě tato čísla dávají stejný zbytek, jejich odečtěním se tyto zbytky odečtou, takže rozdíl bude beze zbytku - takže toto číslo (a tedy i původní) je dělitelné třemi.

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2011 15:57

dělitelnost

#2 21. 11. 2011 16:25 — Editoval Anonymystik (21. 11. 2011 16:27)

Re: dělitelnost

Zápatí