Matematické Fórum

zdenek_s · 21. 11. 2011 19:31

Ahoj všem
Mám za úkol z dané rovnice vypočítat všechna $x\in R$
$\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 & -1 \\ 3 & -2 & -1 & 0 \\ 4 & 1 & 2 & sin2x \\ \end{array} } \right] = 104 + 2 \sqrt{3}$

provedl jsem substituci sin2x = y a pak jsem zkusil Gaussovu eliminaci:

$\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -4 & -6 \\ 0 & 9 & -2 & -8+y \\ \end{array} } \right] = 1/2\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 9 & -2 & -8+y \\ \end{array} } \right] = 1/2\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -6/5 & -9/5 \\ 0 & 0 & 26/5 & -13/5+y \\ \end{array} } \right]$

postup je snad správně a snad jsem neudělal ani početní chybu. Ale teď nevím. Chtěl bych si to zjednodušit a vynásobit 3. a 4. řádek číslem 5, abych se zbavil zlomků. Jenže, celý determinant pak musím násobit pěti, nebo dvacetipěti?

vůbec - jdu na to správně/efektivně?

díky za pomoc
Zdeněk

vanok · 21. 11. 2011 19:37

Ahoj ↑ zdenek_s:,
Zda sa mi ze ty delis, ked treba nasobit

LukasM · 21. 11. 2011 19:38 — Editoval LukasM (21. 11. 2011 19:39)

↑ zdenek_s:
Nekontroloval jsem ty úpravy, ale k tomu zbytku. Pokud chceš násobit nějaký řádek číslem k, determinant se zvýší k-krát. Takže když vynásobíš nejdřív jeden, a pak druhý, tak se determinant zvýší nejdřív k-krát, a potom zase k-krát. Celkem tedy $k^2$ -krát. Ten determinant neví že ty úpravy děláš obě najednou.

Jinak postup k výsledku povede, ale vzhledem k tomu jak to vypadá bych možná zvolil jiný postup, a hned po provedení prvního kroku udělal rozvoj podle 1.sloupce. Pak by mohlo jít nějak vymlátit druhý sloupec té matice 3. řádu co vyskočí, a udělat rozvoj podle něj. Ale nezkoušel jsem to.

Edit: vanok nade mnou má pravdu, já jsem na ty úpravy fakt nekoukal.

zdenek_s · 21. 11. 2011 19:50

aha, takže chyba - já jsem po prvním kroku dělil 3. řádek dvojkou. tudíž se mi celý determinat zmenší na polovinu. je tak? tudíž bych jej měl vynásobit dvěma, abych se dostal na původní hodnotu - ano?
omlouvám se, ale občas se ptám dost hloupě.

2 Lukas_M: díky, ale jsem rád, že u Gausse alespoň tuším (ikdyž jen matně). ale "rozvoj" je už na mě vyšší dívčí.

Díky, Zdeněk

LukasM · 21. 11. 2011 19:55

↑ zdenek_s:
Ano, s tím násobením/dělením to je přesně jak říkáš. A jako hloupé mi ty otázky nepřipadají.

K rozvoji.. no dobře, jak chceš. Potom ale nechápu tu otázku jestli na to jdeš efektivně, když stejně znáš jen jeden způsob:-)

vanok · 21. 11. 2011 19:59

↑ LukasM:,
Ano dobre radis, necham ta dokoncit....

zdenek_s · 21. 11. 2011 20:35

jak říkám, blbý otázky (se ptám na efektivitu a jinak to neumím)

tak pokračuji:

$\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -4 & -6 \\ 0 & 9 & -2 & -8+y \\ \end{array} } \right] = 2\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 9 & -2 & -8+y \\ \end{array} } \right] = 2\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -2/5 & -9/5 \\ 0 & 0 & 26/5 & -13/5+y \\ \end{array} } \right] = 2/25\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 26 & -13+5y \\ \end{array} } \right] =$

$2/25\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & -130+5y \\ \end{array} } \right]= 2/5\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 26+y \\ \end{array} } \right]$

takže dál řeším:
2/5.[1.5.(-2).(26+y)] = -144 - 4y

tedy:
-144 - 4y = 40 -2 sqrt3

resp:
-144 - 4(sin2x)= 40 -2 sqrt3

je postup správně? zjevně mám někde numerickou chybu, ale teď mi jde o postup (už ani ne o efektivitu)

Díky, Zdeněk

LukasM · 21. 11. 2011 20:44 — Editoval LukasM (21. 11. 2011 20:44)

↑ zdenek_s:
Vždyť ta matice na konci vůbec není ve stupňovitém tvaru.

Nekontroloval jsem všechna čísla.

zdenek_s · 21. 11. 2011 20:48

chyba v opisu z papíru:

$\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -4 & -6 \\ 0 & 9 & -2 & -8+y \\ \end{array} } \right] = 2\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 9 & -2 & -8+y \\ \end{array} } \right] = 2\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2/5 & -9/5 \\ 0 & 0 & 26/5 & -13/5+y \\ \end{array} } \right] =$

$2/25\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 26 & -13+5y \\ \end{array} } \right] = 2/25\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & -130+5y \\ \end{array} } \right]= 2/5\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 26+y \\ \end{array} } \right]$

LukasM · 21. 11. 2011 20:57 — Editoval LukasM (21. 11. 2011 20:58)

↑ zdenek_s:
Chyba je v úplně prvním kroku, na konci druhého řádku. Tam totiž nemá být -3ka, ale -5ka.

Správný výsledek je 48-4y.

zdenek_s · 21. 11. 2011 21:07

o jéé, díky. ale z reakce naivně doufám, že postup mám správně, až na ty úlety základů asi tak z třetí třídy....

LukasM · 21. 11. 2011 21:11 — Editoval LukasM (21. 11. 2011 21:17)

↑ zdenek_s:
Ano, postup je v pořádku. A přestaň si furt nadávat, to se prostě stává.

Edit: mimochodem, máš dobře zadání? Protože to vychází pěkně hnusně. Kdyby na konci druhého řádku byla +1, bylo by to hezčí.

zdenek_s · 22. 11. 2011 07:15

Tak zásadní předpoklad je správně opsat zadání. to tedy je:
$\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 & 1 \\ 3 & -2 & -1 & 0 \\ 4 & 1 & 2 & sin2x \\ \end{array} } \right] = 104 + 2 \sqrt{3}$

Chyba byla v posledním prvku druhého řádku (opačné znaménko)

A pak ať dělám, co dělám, stále docházím k výsledku eliminace
$\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -4 & -6 \\ 0 & 9 & -2 & -8+y \\ \end{array} } \right] = 2\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 9 & -2 & -8+y \\ \end{array} } \right] = 2\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -2/5 & -9/5 \\ 0 & 0 & 26/5 & -13/5+y \\ \end{array} } \right] = 2/25\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 26 & -13+5y \\ \end{array} } \right] =$

$2/25\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 26 & -13+5y \\ \end{array} } \right] = 2/25\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & -130+5y \\ \end{array} } \right]= 2/5\left[ {\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 26+y \\ \end{array} } \right]$

potpm dál Determinant z hlavní diagonály:
D=2/5.[1.5.(-2).(26+y)] = -104 - 4y

a D má být rovno pravé straně rovnice:
-104 - 4y = 104 -2 sqrt3

resp po návratu k substituci:
-104 - 4(sin2x)= 104 -2 sqrt3

jenže z toho mi vycházej tak velký čísla, ze arcsin nelze provést

rleg · 22. 11. 2011 07:33

↑ zdenek_s: Myslím, že v posledním řádku matice ti má vyjít -26+y. Pak už to vychází vcelku slušně

zdenek_s · 22. 11. 2011 08:06

a jo, díky, takže vypočteno

díky za pomoc

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2011 19:31

determinant 4x4 s parametrem

#2 21. 11. 2011 19:37

Re: determinant 4x4 s parametrem

#3 21. 11. 2011 19:38 — Editoval LukasM (21. 11. 2011 19:39)

Re: determinant 4x4 s parametrem

#4 21. 11. 2011 19:50

Re: determinant 4x4 s parametrem

#5 21. 11. 2011 19:55

Re: determinant 4x4 s parametrem

#6 21. 11. 2011 19:59

Re: determinant 4x4 s parametrem

#7 21. 11. 2011 20:35

Re: determinant 4x4 s parametrem

#8 21. 11. 2011 20:44 — Editoval LukasM (21. 11. 2011 20:44)

Re: determinant 4x4 s parametrem

#9 21. 11. 2011 20:48

Re: determinant 4x4 s parametrem

#10 21. 11. 2011 20:57 — Editoval LukasM (21. 11. 2011 20:58)

Re: determinant 4x4 s parametrem

#11 21. 11. 2011 21:07

Re: determinant 4x4 s parametrem

#12 21. 11. 2011 21:11 — Editoval LukasM (21. 11. 2011 21:17)

Re: determinant 4x4 s parametrem

#13 22. 11. 2011 07:15

Re: determinant 4x4 s parametrem

#14 22. 11. 2011 07:33

Re: determinant 4x4 s parametrem

#15 22. 11. 2011 08:06

Re: determinant 4x4 s parametrem

Zápatí