Matematické Fórum

armorgrief · 21. 11. 2011 22:37

ahoj

$\sqrt[n]{sin(n) +n^{n}}$

děkuju

vanok · 21. 11. 2011 23:13

Ahoj ↑ armorgrief:,
Vytkni n pred odmocninu

armorgrief · 21. 11. 2011 23:22

a co pak...??

$\sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{sinn/n +n^{n-1}}$ mi příjde ještě zoufalejší

jrn · 21. 11. 2011 23:33

ahoj, myslím že ↑ vanok: myslel n^n

armorgrief · 21. 11. 2011 23:40

nj..ale pak dostávám
$n \sqrt[n]{sin(n)/n^{n} +1}$

a co s tim?:/

vanok · 21. 11. 2011 23:44

↑ armorgrief:,
Mas tak dokonale urcenu limitu

Odmocnina ide k 1,
n k infini

To to da vysledok.

armorgrief · 21. 11. 2011 23:53

jak lze formálně ukázat,že ta druhá posloupnost jde k 1??

vanok · 21. 11. 2011 23:58 — Editoval vanok (21. 11. 2011 23:59)

↑ armorgrief:,
$-1\le \sin x\le 1$ po deleni n^n ohranici zlomok ... A lemma vezna medzi policajtamy da vysledok....

armorgrief

nj..ale abych uprostřed dostal kýženou posloupnost,musím to ještě umocnit na 1/n

tím pádem sice policajty mám,ale nevím,jak vypočítat jejich limitu

$\sqrt[n]{-1/n^{n} +1}$ a $\sqrt[n]{1/n^{n} +1}$

ano..je vidět,že obě limity budou 1...jen...každý krok chci odůvodnit

vanok · 22. 11. 2011 00:06

↑ armorgrief:
Tie zlomky maju limitu 0...

armorgrief · 22. 11. 2011 00:12

ano ano ano...
ale mě jde o to,jak to zdůvodnit formálně..

problém je ten,že limita nté odmocniny se nedá počítat jako když je odmocnina nějaká konstanta...tím pádem se nedá použít tato věta $lim\sqrt[k]{a_{n}}=\sqrt[k]{lim a_{n}}$

dost možná své kroky omezuju tím,co nám zatím řekli ve škole...jen by to mělo jít vyřešit přes ty základny věty

vanok · 22. 11. 2011 00:18

↑ armorgrief:,
Porozmyslam o tom a rano ti napisem podrobnosti

Sulfan · 22. 11. 2011 00:21 — Editoval Sulfan (22. 11. 2011 00:21)

↑ armorgrief: Pokud jde o limitu $\sqrt[n]{-1/n^{n} +1}$ a $\sqrt[n]{1/n^{n} +1}$ tak ta se dá snadno vyřešit převedením pomocí Cauchyova vzorce.

armorgrief · 22. 11. 2011 00:26

a to jest?

Sulfan · 22. 11. 2011 00:32

↑ armorgrief: Cauchyovy vzorce existují dva, jeden se týká řešení limit posloupností ve tvaru n-té odmocniny a druhý je na řešení integrálů v oblasti komplexní analýzy. Ten co použijeme je samozřejmě ten první, ta věta říká něco takového:

Buď $(a_{n})$ posloupnost kladných čísel, pro kterou existuje limita $lim\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ , pak existuje také lim $lim\sqrt[n]{a_{n}}$ a platí, že $lim\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = lim\sqrt[n]{a_{n}}$

vanok · 22. 11. 2011 10:27

Ahoj ↑ armorgrief:,
Ak chceme ortodoxne riesit ten problem, vidim tieto moznosti:
Pouzit na tu cast co ma ist k 1:
rozvoj okolo 1 alebo
nejaky jednoduchy equivalent alebo
logaritmus alebo
vytvorit formu co je vyraz derivacie...

Ak mi nieco ine napadne napisem ti

vanok · 22. 11. 2011 14:11 — Editoval vanok (22. 11. 2011 14:58)

Ahoj,
Najjednoduchsie sa mi zda toto:
$\sqrt[n]{sin(n)/n^{n} +1}\le\sqrt[n]{1/n^{n} +1}\le1+\frac1n .\frac1{n^n}$
À podobne to druhe kridlo....

Rumburak

Ahoj. Dá se postupovat i následovně.

Zvolíme-li pevně $\varepsilon \in (0, 1)$ , pak existuje $D > 0$ tak, že pro každé $n > D$ je $0 < \frac {1}{n^n} < \varepsilon$
(protože 1/n^n jde k 0).

Proto

$\sqrt[n]{-\varepsilon +1} < \sqrt[n]{-\frac{1}{n^n} +1} \le \sqrt[n]{\frac{\sin n}{n^n} +1} \le \sqrt[n]{\frac{1}{n^n} +1} < \sqrt[n]{\varepsilon +1}$ .

Že "křídla" s pevným $\varepsilon \in (0, 1)$ jdou k 1 pro $n \to \infty$ , se už dokazuje celkem snadno.

vanok · 22. 11. 2011 14:59

Ahoj ↑ Rumburak:,
Pekny pristup, a priamejsi ako moj.

Rumburak · 22. 11. 2011 15:49

↑ vanok:

Ahoj, uznání od kolegy potěší, díky :-) .

Tvůj postup má své výhody - výsledek je z něj vidět na první pohled, zatímco u mého postupu to do očí až tak nebije.
Můj sklon ukazovat další cesty, jak určitou úlohu řešit, je dán mým založením - sam bývám rád, když znám více způsobů.

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2011 22:37

Limita posloupnosti

#2 21. 11. 2011 23:13

Re: Limita posloupnosti

#3 21. 11. 2011 23:22

Re: Limita posloupnosti

#4 21. 11. 2011 23:33

Re: Limita posloupnosti

#5 21. 11. 2011 23:40

Re: Limita posloupnosti

#6 21. 11. 2011 23:44

Re: Limita posloupnosti

#7 21. 11. 2011 23:53

Re: Limita posloupnosti

#8 21. 11. 2011 23:58 — Editoval vanok (21. 11. 2011 23:59)

Re: Limita posloupnosti

#9 22. 11. 2011 00:03 — Editoval armorgrief (22. 11. 2011 00:04)

Re: Limita posloupnosti

#10 22. 11. 2011 00:06

Re: Limita posloupnosti

#11 22. 11. 2011 00:12

Re: Limita posloupnosti

#12 22. 11. 2011 00:18

Re: Limita posloupnosti

#13 22. 11. 2011 00:21 — Editoval Sulfan (22. 11. 2011 00:21)

Re: Limita posloupnosti

#14 22. 11. 2011 00:26

Re: Limita posloupnosti

#15 22. 11. 2011 00:32

Re: Limita posloupnosti

#16 22. 11. 2011 10:27

Re: Limita posloupnosti

#17 22. 11. 2011 14:11 — Editoval vanok (22. 11. 2011 14:58)

Re: Limita posloupnosti

#18 22. 11. 2011 14:43 — Editoval Rumburak (22. 11. 2011 14:45)

Re: Limita posloupnosti

#19 22. 11. 2011 14:59

Re: Limita posloupnosti

#20 22. 11. 2011 15:49

Re: Limita posloupnosti

Zápatí