Matematické Fórum

petra006 · 22. 11. 2011 17:11

Jsou dány vektory K[2;5], L[6;2]. Určete souřadnice bodů M,N tak, aby čtyřúhelník KLMN byl obdelník a aby platilo KL=3LM

K užití bych měla použít skalární a vektorový součin. Podle řešení to má mít dva různé výsledky, takže mi není jasné jak k nim došli. Mohli byste mi poradit jak by měla základní rovnice vypadat? Děkuji moc.

jelena · 23. 11. 2011 22:38

Zdravím,

pravděpodobně v zadání jsou body K, L (ze kterých sestavíš vektor KL, odpovídá straně KL. Další postup může být různý - délku KL a následně LM vypočteš, budeš tak mít všechno pro výpočet obsahu obdélníku a využit vektorový součin.

Nebo sestavíš obecnou rovnici přímky LM kolmé na KL (KL je pro přímku normálový vektor, přímka prochází bodem K). Na přímce jsou 2 body, co splňuji podmínku stejné vzdálenosti od K - nalevo a napravo od K. Pro jsou 2 různé výsledky. Obdobně můžeš pro KN.

eldest · 23. 11. 2011 23:02

↑ petra006:

Ahoj a přes velikost vektoru to nemůže být?

Cheop · 24. 11. 2011 07:23 — Editoval Cheop (24. 11. 2011 10:38)

↑ petra006:
Má to 2 řešení - viz obrázek

Počítal bych to takto:
$K=(2;\,5)\\L=(6;\,2)$
$\vec{KL}=(4;\,-3)$
Kolmý vektor (má to být obdélník)
$\vec{u}=(3;\,4)$
$\vec{u_1}=(-3;\,-4)$
Strana KN resp. LM má být 3 krát kratší než strana KL tj:
$\vec{u}=\left(1;\,\frac 43\right)\\\vec{u_1}=\left(-1;\,-\frac43\right)$

Pro bod N musí platit:
$x-2=1\\y-5=\frac 43\\x=3\\y=\frac{19}{3}\\N=\left(3;\,\frac{19}{3}\right)$

Pro bod N' platí:
$x-2=-1\\y-5=-\frac 43\\x=1\\y=\frac{11}{3}\\N'=\left(1;\,\frac{11}{3}\right)$

Pro bod M platí:
$x-6=1\\y-2=\frac 43\\x=7\\y=\frac{10}{3}\\M=\left(7;\,\frac{10}{3}\right)$

Pro bod M' platí:
$x-6=-1\\y-2=-\frac 43\\x=5\\y=\frac 23\\M'=\left(5;\,\frac 23\right)$

Řešení:
$M=\left(7;\,\frac{10}{3}\right)\\M'=\left(5;\,\frac 23\right)\\N=\left(3;\,\frac{19}{3}\right)\\N'=\left(1;\,\frac{11}{3}\right)$

Cheop · 24. 11. 2011 09:40 — Editoval Cheop (25. 11. 2011 13:25)

↑ petra006:
Druhý způsob výpočtu:
$\vec{KL}=(4;\,-3)$
Toto bude normálový vektor přímky, která bude procházet bodem K (strana KN resp. KN')
Rovnice strany bude:
$4x-3y+c=0$ - dosadím souřadnice bodu K a dopočtu c tj:
$4\cdot 2-3\cdot 5+c=0\\c=7$
Rovnice strany KN(KN') je:
$4x-3y+7=0$
Protože tato strana má být 3 krát kratší než strana KL potom:
$|KL|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5\\\frac 13|KL|=\frac 13\cdot 5=\frac 53$
Hledané body N, N' budou průsečíky strany KN a kružnice se středem v K o poloměru 5/3
Řešíme tedy rovnice:
$4x-3y+7=0\\(x-2)^2+(y-5)^2=\frac{25}{9}$
Výpočet
Dostáváme tak body : $N=\left(3;\,\frac{19}{3}\right)\\N'=\left(1;\,\frac{11}{3}\right)$

Obdobně by se počítaly souřadnice bodů M, M'
Přímka by procházela bodem L a měla by rovnici:
$4x-3y+c=0\\4x-3y-18=0$
Kružnice se středem v L o poloměru 5/3
Řeší se rovnice:
$4x-3y-18=0\\(x-6)^2+(y-2)^2=\frac{25}{9}$
Stroj to řeší
Dostáváme tak body : $M=\left(7;\,\frac{10}{3}\right)\\M'=\left(5;\,\frac 23\right)$

Řešení:
$M=\left(7;\,\frac{10}{3}\right)\\M'=\left(5;\,\frac 23\right)\\N=\left(3;\,\frac{19}{3}\right)\\N'=\left(1;\,\frac{11}{3}\right)$

Obrázek:

jelena · 24. 11. 2011 14:33

↑ Cheop:

:-) děkuji (včera jsem narazila na téma při úklidu), ještě tomu chybí užití vektorového součinu (nebo skalárního), ale to se stejně musí použit přímka, kolmá na KL (zřejmě jen pro procvičení). Dokonalé provedení. Zdravím.

Cheop · 25. 11. 2011 13:14 — Editoval Cheop (02. 12. 2011 13:23)

↑ petra006:
3. způsob
$K=(2;\,5)\\L=(6;\,2)\\|KL|=3|LM|$ - má to být obdélník
$\vec{KL}=(4;\,-3)\\\vec{KN}=(x-2;\,y-5)$
$|KN|=\frac 13|KL|$
$\vec{KN}\perp\vec{KL}\,\Rightarrow\,\text{skalární součin=0}$
$4(x-2)-3(y-5)=0\\4x-3y+7=0$
Obsah obdélníku:
$|KN|.|KL|=(4;\,-3).(4/3;\,-1)=\frac{16}{3}+3=\frac{25}{3}$
Vektorový součin
$|4\quad -3|\\|x-2\quad y-5|\\4(y-5)-(-3)(x-2)=\frac{25}{3}$ - úpravou:
$9x+12y-103=0$
Bod N bude průsečíkem přímek:
$4x-3y+7=0\\9x+12y-103=0$
Stroj
$N=\left(3;\,\frac{19}{3}\right)$
Bod N' je středově souměrný s bodem N podle bodu K platí:
$\frac{N+N'}{2}=K\\N'=2K-N\\2(2;\,5)-\left(3;\,\frac{19}{3}\right)=\\\left(4-3;\,10-\frac{19}{3}\right)\\N'=\left(1;\,\frac{11}{3}\right)$

Pro bod M
$4(x-6)-3(y-2)=0$ - skalární součin
$4x-3y-18=0$
Bod M bude průsečíkem přímek:
$4x-3y-18=0\\9x+12y-103=0$
Výpočet
$M=\left(7;\,\frac{10}{3}\right)$
Bod M' je středově souměrný s bodem M podle bodu L platí
$M'=2L-M\\M'=\left(12-7;\,4-\frac{10}{3}\right)\\M'=\left(5;\,\frac 23\right)$

Řešení:
$M=\left(7;\,\frac{10}{3}\right)\\M'=\left(5;\,\frac 23\right)\\N=\left(3;\,\frac{19}{3}\right)\\N'=\left(1;\,\frac{11}{3}\right)$