Matematické Fórum

granit · 14. 08. 2008 06:40

prosím o na?uknutí jak začít .. $ln\frac{x^3}{x+1}$ ... mám se dostat opět na derivaci 2.řádu.
jak začít ? Derivovat jako složenou funkci ? Anebo prvně nějak upravit $\frac{x^3}{x+1}$ ...?

jelena · 14. 08. 2008 08:25

↑ granit:

Zdravím :-)

Nejdriv pouzijes pravidla pocitani s logaritmy: http://cs.wikipedia.org/wiki/Logaritmus (jsou stejna pro ln, log, lg – lisi se jen zakladem)
Uprava: logartimus podilu prevedes na rozdil logaritmu, ln(x^3)=3lnx.
OK?

musixx · 14. 08. 2008 10:16 — Editoval musixx (14. 08. 2008 10:26)

Samozrejme je jedno, jak to udelas. Vysledek bude stejny. Jen prace bude snazsi/tezsi:

Jako slozena funkce (sazmozrejme za predpokladu existence "vseho, co potrebujeme"):
$\left(\ln\frac{x^3}{x+1}\right)'=\frac1{\frac{x^3}{x+1}}\cdot\frac{3x^2(x+1)-x^3}{(x+1)^2}=\frac{x+1}{x^3}\cdot\frac{3x^2(x+1)-x^3}{(x+1)^2}=\frac{3(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac3x-\frac1{x+1}$

Nebo nejprve trochu upravit logaritmus:
$\left(\ln\frac{x^3}{x+1}\right)'=\left(3\ln x-\ln(x+1)\right)'=3\cdot\frac1x-\frac1{x+1}$

Druha derivace je uz jasna, ze?

Poznamka: Prvne udelat upravu logaritmu se zda jednodussi. Ano, ale je treba mit na pameti jiste "zaludnosti". Priklad:

Funkce $y(x)=\ln\frac xx$ . Je rovna funkci $y(x)=\ln1$ nebo $y(x)=\ln x-\ln x$ ? Nase puvodni funkce $y(x)=\ln\frac xx$ je definovana pro vsechna realna $x$ ruzna od nuly, prvni "uprava" pro vsechna realna $x$ a druha "uprava" pro vsechna kladna $x$ . "Upravy" (schvalne v uvozovkach) s logaritmy totiz nejsou vzdy automaticky ekvivalentni. Ale tohle asi nemelo byt soucasti prikladu... Jak jsem napsal na zacatku: "za predpokladu existence vseho, co potrebujeme", jsou obe reseni rovnocenna.

jelena · 14. 08. 2008 18:08

↑ musixx:

Zdravim :-)

uplne jedno to neni (cas a riziko chyb, ze :-) - ja jsem mela take pocit, ze kolega chce upravovat vyraz za ln (mistni kolegove-opravdove matematikove rekli, ze mam rikat "argument" :-), a sice toto : $\frac{x^3}{x+1}$ - souhlasis, ze tam cesta uprav nevedla.

Uz jsem psala, ze v tematech VS mi pripadalo zbytecne zduraznovat, ze praci s kazdou funkci zaciname posuzovanim definicniho oboru a provadene upravy musi byt povolene - ale, samozrejme, to mam na mysli a budu to zduraznovat.

Za poznamku k ekvivalenci dekuji, je poucna.

Hezky den :-)

granit · 14. 08. 2008 23:09

↑ musixx:
takže po odečtšní zlomku z první derivace $\frac{3}{x}-\frac{1}{x+1}$ dostanu $\frac{2x+3}{x^2+x}$ => $(\frac{2x+3}{x^2+x})'$ je to tak ?

musixx · 18. 08. 2008 12:16

↑ granit: Ano, presne tak ziskas druhou derivaci puvodni funkce.

musixx · 18. 08. 2008 12:30 — Editoval musixx (18. 08. 2008 12:32)

↑ jelena: Taktez zdravim!

Stale predpokladam, ze nasledujici rozbor asi nebyl ocekavan v reseni prikladu, ale mame-li byt korektni, mel byt udelan drive, zcela souhlasim.

Opet ale zduraznuji, ze tim nechci strasit pripadne bojovniky s derivacemi z rad zactva, protoze mam oduvodneny pocit, ze nad nasledujicimi radky by mavla rukou rada pedagogu. A ono to neni vubec jednoduche. Ukaze se totiz, ze nase uprava logaritmu na soucet logaritmu nezustava v realnych cislech. Nu coz, ale na zaver se tam zase vrati: proste jsme chvilku interne nevyrcene koketovali s komplexni analyzou.... :-)

Definicni obor realne funkce $\ln\frac{x^3}{x+1}$ jsou ta realna $x$ , pro ktera je zlomek v argumentu logaritmu kladny. Tedy bud plati

$x^3>0$ a soucasne $x+1>0$

nebo

$x^3<0$ a soucasne $x+1<0$ .

Prvni plati pro vsechna $x>0$ a druhe pro $x<-1$ . Tedy definicni obor je

${\mathbb R}\setminus\langle-1;0\rangle$

a je tedy videt, ze uprava

$\ln\frac{x^3}{x+1}=3\ln x-\ln(x+1)$

neni koser v realnych cislech. Ale je zcela spravna, uvazime-li komplexni logaritmus (jeho vetev). A jak uz jsem napsal na zacatku tohoto prispevku - ve vysledku se stejne vratime do realnych cisel, i kdyz nevim, kdo si tak uplne vsiml, ze jsme chvilku byli mimo ne...

Jako takove shrnuti bych ale stejne rekl, ze za obe reseni, ktera jsou v tomto pripade rovnocenna (a za tim si stojim), by granit dostal ve skole plny pocet bodu za priklad, souhlas?