Matematické Fórum

majisek · 18. 08. 2008 18:41

Zdravím, mám problém s jednou rovnicí, najde se tu někdo ochotný, kdo mi pomůže?

y' - 2xy = 2x^3

děkuji vám mnohokrát...

rughar · 18. 08. 2008 19:54 — Editoval rughar (18. 08. 2008 20:06)

↑ majisek:

Je nekolik cest. První mě napdala tato

substituce q = x^2. Pak si vyjádřím:

$\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{dq} \frac{dq}{dx}$

Derivaci q podle x znám, to je 2x, čili

$\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{dq} 2x$

A dosazením do původní rovnice

$2x \frac{dy}{dq} - 2xy = 2x^3$
$\frac{dy}{dq} - y = x^2$
$\frac{dy}{dq} - y = q$

Což je již jednoduchá homogení rovnice.

Teď si ještě vzpomínám na jeden trik. Jde použít ve všech rovnicích typu:

$y'+f(x)y = g(x)$

Postupuju se tak, že se celá rovnice vynásobí výrazem $e^{\int f(x)dx}$ . Úprava pak vypadá takto.

$y' e^{\int f(x)dx}+f(x)ye^{\int f(x)dx} = g(x)e^{\int f(x)dx}$

Bokem si vyjádříme, že platí následující vztah

$(y e^{\int f(x)dx})' = y'e^{\int f(x)dx}+f(x) y e^{\int f(x)dx}$ .... prostá derivace součinu, všiměme si, že pravá strana se vyxkytuje ve výrazu výše, pudeme tedy pokračovat v úpravách

$(y e^{\int f(x)dx})' = g(x)e^{\int f(x)dx}$

Stačí zintegrovat a podělit $e^{\int f(x)dx}$ a dostaneš výsledek.

V tvém příkladu to bude vypadat takto.

$y'-2xy=2x^3 /.e^{-x^2}$
$y'e^{-x^2}-2xye^{-x^2}=2x^3e^{-x^2}$
$(y e^{-x^2})' = 2x^3 e^{-x^2}$

Je potřeba zintegrovat pravou stranu. Zvolí se substituce x^2 a pak se to uprví podle per partes a výjde:

$y e^{-x^2} = \frac{1}{2}e^{-x^2} (x^2-1) + c$

Čili řešením je

$y = \frac{1}{2} (x^2-1) + c e^{x^2}$