Matematické Fórum

Adeelka · 23. 11. 2011 11:38

Prosím o pomoc s průběhem fce: $y= x-(\sqrt{4x})^{1/2}$ ..monotonie, konvexnost,...extrémy,.. Díky

cStP · 23. 11. 2011 12:08

Jsi si jistá tím zápisem, že tam mají být obě odmocniny ? Protože to co jsi napsala je, pouze jinak napsáno, tohle
$y= x-(\sqrt{\sqrt{4x})}$ (já jen jestli ses třeba neupsala)

Kam až jsi při počítání došla, co ti není jasné nebo kde ses zasekla ?

Extrémy, monotónnost, body inflexe, ... spočítáš pomocí I. a II. derivace

Derivace součtu a rozdílu se počítají pro každý člen zvlášť, tzn. zderivuješ samostatně $x$ i samostatně $-\sqrt{\sqrt{4x}}$ .

Adeelka · 23. 11. 2011 12:16

↑ cStP: Zápis fce je správný, opravdu tam vyjdou ty dvě odmocniny. Spočítala jsem první i druhou derivaci, ale nevim, jak s tim dál..nevím jak z toho dopočítat ty extrémy, inflexi atd. Podle grafu z programu Geogebra a následným dopočítáním průsečíků vyjde Py [0;0] a Px [0;0] . Pak bude ještě jeden průsečík s osou x a ten vychází podle grafu cca [1,58;0] .. vývoj grafu taky naznačuje, že graf má minimum, ale nevím jak dopočítat ten bod z tý derivace

cStP · 23. 11. 2011 14:02

Lokální extrémy (body) získáš tak, že určíš kde je 1. derivace rovná nule. V takových místech se buď jedná o
a) lokální minimum/maximum
b) body, kde není derivace (tzn. neexistuje v grafu tečna).
Zjistit, o který se jedná případ lze pomocí toho, že určíš jestli v okolí tohoto bodu, zleva i zprava, je funkce rostoucí či klesající. Když se monotónnost nemění (pěkným příkladem je funkce $x^3$ okolo bodu nula), pak se nejedná o lokální extrém funkce. (funkce je rostoucí když $f'(x > 0)$ a klesající když $f'(x) < 0$ .

Inflexní body, konvexnost a konkávnost zjistíš z 2. derivace. Kde je 2. derivace rovna nule => body inflexe. Tam kde je menší než 0, je konkávní $f''(x) < 0$ konkávní; $f''(x) > 0$ kokvexní.

Adeelka · 23. 11. 2011 14:55

↑ cStP: Zkus prosím spočítat ty derivace a položit rovné nule. Něco mi vyšlo, ale nevím jestli je to dobře..tak bych ráda věděla, jak to vyšlo tobě. Dík

cStP · 23. 11. 2011 16:17

1. derivace je $1-\frac{\sqrt{2}}{4x^{\frac{3}{4}}}$ . Nulový bod je $\frac{1}{4}$ . Když se dosadí číslo menší z intervalu $<0; 0.25)$ tak ti vyjde číslo záporné => klesající; z intervalu $(0; +\infty)$ , tak ti vyjde číslo kladné => rostoucí ==> v bodě $0.25$ je lokální minimum.

2. derivace nulová být nemůže; je ale neustále kladná => konvexní.