Matematické Fórum

katrintn · 23. 11. 2011 20:07

ahojte prosim mozete mi pomoct s prikladom?

Dana rovnica je $x^{3}-3x^{2}+7x+1=0$ . Bez toho, aby ste ju vyriesili, napiste rovnicu ktorej korene su
a.) torjnasobky korenov danej rovnice
b.) prevratene cisla ku korenom danej rovnice

Dakujem za kazdu pomoc

vanok · 23. 11. 2011 20:26

Ahoj ↑ katrintn:,
Vyuzi vzorce de Viète.

Alivendes

↑ vanok:

Abychom dostali reciproké hodnoty, musíme prohodit kubický a absolutní člen a změnit znaménka dále musí platit že $\frac{-b}{a}=\frac{b}{d}$ a dále musí platit, že $\frac{c}{a}=\frac{b}{d}$

Tady z toho vyjde :
$a=-d$
$c=-b$

$y=-x^3-7x^2+3x-1$

vanok · 24. 11. 2011 02:44

↑ Alivendes:,
Ja som dal navod na metody prace kolegovy ↑ katrintn:

Chcem len pritiahnut tvoju pozornost na toto
pisal si:[citujem]
a) abychom získalí rovnici, jejíž kořeny jsou trojnásobky kořenů téhle rovnice, musíme ztrojnásobit koeficienty u kvadratického, lineárbího a absolutního členu.

Ale spravne je :
Vynasobime 3my linearny koeficient
3x3=9imy quadraticky koeficient
3x3x3=27imy absolutny koeficient ....
Co da trochu iny vysledok ako ten co si napisal.

Tvoje riesenie na b) som neoveril ale vzladom nocnej hodine necham to overit inym...

vanok · 24. 11. 2011 04:14 — Editoval vanok (24. 11. 2011 04:16)

↑ Alivendes:
Davam tu metodu prace na otazku b) ale v generalnej situacii, pre rovnicu:
$x^{3}+Ax^{2}+Bx+C=0$
symetricke polynomy sa tu pisu:
$x_1+x_2+x_3=-A$
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=B$
$x_1x_2x_3=-C$

Transformovana rovnica musi mat take to symetricke polynomy:
$\frac 1{x_1}+\frac 1{x_2}+\frac 1{x_3}$
$\frac 1{x_1x_2}+\frac 1{x_1x_3} +\frac1{x_2x_3}$
$\frac1{x_1x_2x_3}$

Jednoduche vypocty nam daju ich hodnoty vo funkcii A, B, C
Respektivne :
$-\frac B C$
$\frac AC$
$-\frac 1C$

Z toho okamzite mame ze transformovany polynom je:
$x^{3}+\frac BC x^{2}+\frac AC x+\frac 1C=0$

Pre polynom nasho kolegu mame: $A=-3,B=7,C=1$
co nas vedie k

$x^{3}+7x^{2}-3x+1=0$