Matematické Fórum

doomed · 18. 08. 2008 15:52 — Editoval doomed (18. 08. 2008 16:37)

Zdravím, narazil jsem na takovou drobnost a rád bych si v tom udělal jasno. Tímto bych vás chtěl samozřejmě požádat, abyste mi s tím trochu pomohli.
Mám definici mocniny s racionálním exponentem r, kde se mimo jiné píše, že r = p/q, kde p je celé a q přirozené číslo. A pak je samotná definice racionálního čísla, která zní: a/b, kde a je libovolné celé a b celé nenulové číslo. Tohle mě dost mate. Už jsem totiž jednou viděl definici racionálního čísla právě pomocí celého čitatele a přirozeného jmenovatele, ale nechápu, proč to někde píšou tak a jinde onak. Jako jediný rozumný důvod, proč ho definovat jako podíl celého a přirozeného čísla, mě napadá, že do oboru přirozených čísel nepatří nula (a tudíž se tam nemusí přidávat ještě ona podmínka o nenulovosti jmenovatele), ale to je prý taky věcí dohody a není to striktně dané, někdy se nula do tohoto oboru počítá. Možná se teď ptáte, proč do toho pletu tu mocninu? Myslel jsem, že je to třeba nějaký zvláštní případ, kdy se to racionální číslo definuje právě tímto způspbem. Děkuji za odpověď na možná poněkud hloupou otázku.

Marian · 18. 08. 2008 22:10 — Editoval Marian (18. 08. 2008 22:15)

↑ doomed:

Věc se má tak, že racionální číslo x se definuje trochu jinak, ale to sem nemohu tahat, protože je v tom vyšší algebra, která je jistě mimo tvůj rámec vědomostí. Racionální číslo lze skutečně chápat jako podíl jistých dvou prvků p a q. Lze to udělat dvěma způsoby:

(1) racionální číslo x definujeme jako $x:=\frac{p}{q}$ , kde $p\in\mathbb{Z},\, q\in\mathbb{N}$ ;
(2) racionální číslo x definujeme jako $x:=\frac{p}{q}$ , kde $p\in\mathbb{Z},\, q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ .

První případ je jednodušší a pro mnohé matematické úvahy velice výhodný, protože jmenovatel je číslo kladné. Druhá možnost je pak méně výhodná (ale ekvivalentní první), protože může nastat několik případů, co se týče znamének čísel p a q. Tím se některé matematické techniky stávají težkopádné a neefektivní. Ale budu-li uvažovat, že čísla p, q jsou kladná, u čísla p pak povolíme i nulovost, platí
$\Huge\frac{\overbrace{-p}^{\in\mathbb{Z}}}{\underbrace{-q}_{\in\mathbb{Z}}}=\frac{\overbrace{p}^{\in\mathbb{N}}}{\underbrace{q}_{\in\mathbb{N}}},\qquad\frac{\overbrace{p}^{\in\mathbb{N}}}{\underbrace{-q}_{\in\mathbb{Z}}}=-\frac{p}{q}=\frac{\overbrace{-p}^{\in\mathbb{Z}}}{\underbrace{q}_{\in\mathbb{N}}}.$
Jinými slovy, pokud je racionální číslo x=p/q zapsáno tak, že čísla p a q jsou celá (přitom q je nenulové), dají se vždy přepsat na takový tvar x=p'/q', kde číslo p' je celé a q' přirozené.

Efektivnost zápisu (1) se pak pozná třeba u důkazových úloh; klasickou je třeba úloha o mediánu dvou racionálních čísel a/b a c/d, kde se ukazuje, že pro všechna racionální čísla a/b a c/d platí
$\frac{a}{b}\le\frac{a+c}{b+d}\le\frac{c}{d}.$
Hned se uvažuje již zápis ve formě (1), tedy, že a,c jsou celá a b,d přirozená (tj. kladná celá).

A co se týče množiny všech přirozených čísel, pak je skutečně věcé toho kterého autora, jaký zvolí přístup ke konstrukci množiny přirozených čísel. Někde se uvažuje i nula (v Čechách to je ale sporadicky), někde se neuvažuje. Je tedy lepší (a mnohdy i užitečnější) psát místo "přirozená čísla" spíše srozumitelnější , a to "kladná celá čísla".

doomed · 19. 08. 2008 18:13

↑ Marian: Děkuji za vyčerpávající odpověď. Sice si to budu muset ještě několikrát přečíst, ale snad vše pochopím.

Marian · 19. 08. 2008 21:42

↑ doomed:
Stručně řečeno takto ...

Minus ve jmenovateli je možné "posunout" do čitatele, kde a? již je čitatel kladný nebo záporný nebo nula, s oním minusem bude čitatel opět číslo celé, přičemž ve jmenovateli po odstranění znaménka minus je číslo přirozené. Tedy racionální číslo se dá vždy zapsat ve tvaru $\mathbb{Z}/\mathbb{N}$ (schematicky). To zhruba říká zvětšený komplikovaný zápis výše.

Matematické Fórum

#1 18. 08. 2008 15:52 — Editoval doomed (18. 08. 2008 16:37)

Mocnina s racionálním exponentem - definice racionálního čísla

#2 18. 08. 2008 22:10 — Editoval Marian (18. 08. 2008 22:15)

Re: Mocnina s racionálním exponentem - definice racionálního čísla

#3 19. 08. 2008 18:13

Re: Mocnina s racionálním exponentem - definice racionálního čísla

#4 19. 08. 2008 21:42

Re: Mocnina s racionálním exponentem - definice racionálního čísla

Zápatí