Matematické Fórum

diky, aj ked tomu velmi nerozumiem, nemohol by si prosim ta napisat ako by to bolo s r=5

všemu je rozumet, veľmi ti dakujem

Stačil by "důkaz autoritou"? (Wikipedii důvěřuju a prověřuju, ale na MathWorldu jsem ještě na nemysl nenarazil)
http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html

Druhé téma ke stejnému problému jsem zamčel kvůli přehlednosti fóra.

Pokud řešení příkladu narazí na krok, který není možné provést analytycky (neřešitelný integrál apod.), pak neexisutej žádný přístup, který by to dokázal bez numeriky. Pokudy by existoval, pak by existovala i algebraická cesta k vyřešení algebraicky neřešitelného kroku, což je pitomost :-)


Malý postřeh
Něco podobného je důkaz proč nelze nalézt vlastní čísla čtvercové matice 5×5. Jelikož jdou vyjádřit zcela obecným polynomem pátého řádu, pak nemůže existovat jiný algebraický způsob na výpočet vlastních čísel, nebo? bychom dokázali pak vyřešit polynom pátého řádu což už matematik Jacobi dokázal, že není možné.

↑ musixx:

Omyl pane kolego :-)
Myšlenka byla v tom, že pokud ALESPOŇ JEDNO řešení narazí na podobnou překážku, pak určitě neexistuje žádné jiné řešení, podle kterého bychom příklad jednoduše vyřešili. Viz ten příklad s vlastními čísly matice (ano, byl to opravdu Jacobi :-)). Ve své podstatě z toho plyne, že KAŽDÉ řešení na překážku narazí. Tohle ale už není předpoklad, ale důsledek!! Je to velice prosté. Lze to ukázat na tom příkladu matice 5×5. Pokud ukážete obecný postup jak algebraickými postupy dopočítat vlastní čísla, pak máte kanón na počítání kořenů obecného polynomu pátého řádu. Ke každému polynomu lze vymyslet odpovídající matici, kde pro odečtení vlastního čísla od hlavní diagonály a následnému položením determinantu nule získáte onen polynom s proměnou toho vlastního čísla (hnusná věta:-)). Stačí mi vědět že znám jeden postup jak spočítat vlastní čísla matice pomocí polynomu, pak určitě vím že matice vedoucí na obecný polynom pátého řádu nespočítám jinak než numericky a? se snažím vymýšlet postupy jakékoliv.

To vše mi připadá poměrně triviální. Proč by se jinak všechny numerické problémy řešili numericky :-)

Pokud někdo nesouhlasí, a? najde jednoduše protipříklad :-)

↑ Marian:

Oh. Tak omlouvám se za šíření bludů. Nevim proč ale mám s tímhle problémem nějak silně toho Jacobiho zafixovaného.

↑ rughar: Ne ne, ja musim rict "omyl, pane kolego" a nebudu vykat, abych nebyl smesny.

Musime rozlisovat, je-li problem A ekvivalentni problemu B, ci jestli je jen problem A redukovatelny na problem B (terminy z teoreticke informatiky, ale myslim, ze intuitivne srozumitelne). Tvuj argument by totiz snadno dokazal P=NP. :-)

Takze budu uvadet veci na pravou miru. Vlastni cisla zcela jiste nejsou definovana pomoci charakteristickeho polynomu. Pokud si spravne pamatuju, tak zpocatku jde o vlastni vektory, tedy o ty prvky vektoroveho prostoru, ktere jsou zobrazeny linearnim zobrazenim reprezentovanym prave onou matici na vektory stejneho smeru. Jak se zmeni velikost onech vektoru, o tom prave vypovidaji vlastni cisla. Dokazat jejich JEDNOZNACNY vztah k charakteristickemu polynomu, to je prave ona ekvivalence mezi nalezenim korenu polynomu (v nasem pripade 5. supne) a vlastnich cisel matice 5x5. Ty pises "hnusna veta", ja bych rekl "zajimava veta s netrivialnim dukazem".

Ted tedy nejaky protipriklad. Souhlasime s tim, ze obvod elipsy je numericky problem? Rekneme, ze ano. Neexistuje tedy analyticky vzorecek, ktery na zaklade delek pooloos 'a' a 'b' da jeji obvod.

Priklad 1: Spoctete obvod kruznice.

Reseni 1_spatne: Vezmeme obvod elipsy a dosadime za 'a' i za 'b' polomer 'r'. Protoze ale vzorecek pro obvod elipsy neexistuje, resp. je spocitatelny pouze numericky, tak take obvod kruhu je spocitatelny pouze numericky.

Reseni 1_lepsi: Proste jdeme jinou cestou nez pres elipsu. Treba urcitym integralem.

Priklad 2: Obvod elipsy E1 je 17, pricemz pomer mezi jejimi poloosami je 2:3. Spoctete obvod elipsy E2, ktera ma dvojnasobne velke poloosy jako elipsa E1.

Reseni 2_spatne: Nejprve spocteme delky poloos elipsy E1. Ty pak vynasobime dvema a pomoci nich spocteme obvod elipsy E2. Protoze ani prvni ani druhy ukol nemuzeme udelat nez numericke metody, analyticke reseni neexistuje.

Reseni 2_lepsi: Elipsa E2 je dvakrat zvetsena elipsa E1. Tedy jeji obvod je 34.

↑ rughar: Prechazim k vykani a s ironii v hlase Vam, pane kolego, sdeluji, ze oba me priklady byly Vami hledane protipriklady, a doporucuji Vam zapsat si v nejblizsi dobe kurz logiky.