Matematické Fórum

Zdravím,

potřeboval bych prosím poradit s jedním doplňujícím úkolem z letošní matematické olympiády.
(Je to doplňující příklad, ne příklad domácího kola)

Dokažte, že zbytky čísel 1, 10, 10^2,10^3... při dělení libovolným lichým prvočíslem různým od 5 tvoří periodickou posloupnost.


- někde jsem si našel - modulo z , kde z není složené číslo - , že při dělení vždy existuje modulo podílu
  zatímco když je modulo z, kde z je číslo složené(nemusí vždy modulo existovat)

- toto tvrzení jsem našel bez důkazu, takže mu moc nerozumím.
- ale je důležité, protože říká, že dělení dvou čísel modulo prvočísla vždy existuje

např. pro jedenáctku mod 11 je to jednoduché  10== -1 mod(11)  =>  10^k == (-1)^k mod 11

zbytky by tvořili per. posloupnost 1,-1,1,-1...


Problém je v tom, že nevím, jak obecně dokázat, že toto tvrzení platí pro všechna prvočísla.
(Slyšel jsem, že by se to mohlo dokázat přes Malou Fermatovu větu, ale té zatím nerozumím)

Díky za pomoc