Matematické Fórum

limity bohužel nejsou má silná stránka :(
Pro x -> 0 to je jasné z grafu? Mě to bohužel jasné není :(
A u toho x -> +oo mám jmenovatel i čitatel vydělit xkem? pak ale výjde ln 1/(1+1/x) a tady mám dosadit za x nekonečno a výjde mi ln 1/+oo? a celkový výsledek je tedy jaký?
Omlouvám se za mé neznalosti, oprašuji matiku po delší době..děkuji moc za rady :)

x-> 0 - no to tak nějak vím, že by se měly udělat limity zleva a zprava, ale u tohohle jsem vždycky ztroskotal, protože když jsem k funkci neměl graf, tak jsem nikdy moc nevěděl, jak tohle počítat....poradil by jsi prosím?

a x -> oo to už asi chápu, děkuju...je to tedy ln 1 / (1+0) tím pádem ln 1 a to se rovná 0 takže výsledek je 0 že? :)
Jen se chci zeptat, jak u těhle limit postupovat? Vím totiž, že se tam většinou musí pokrátit xkem a pak dosadit, ale nevím, kdy ž můu dosazovat a kdy ne....musím to vždy upravit do té podoby, aby byl x jen v čitateli nebo jen ve jmenovateli a pak mohu dosazovat? nesmí tam vzniknout oo/oo a 0/0?
Děkuji za pomoc :)
Jo a kdyby jsi byl tak hodný, nemohl by jsi mi ještě prosím poradit, jak počítat tuto limitu?
Nebo alespoň jak ji upravit, abych mohl dosadit 0 a vyhodilo mi to kýžený výsledek -1/32? Děkuji moc :)

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=2322

Brake napsal(a):

x-> 0 - no to tak nějak vím, že by se měly udělat limity zleva a zprava, ale u tohohle jsem vždycky ztroskotal, protože když jsem k funkci neměl graf, tak jsem nikdy moc nevěděl, jak tohle počítat....poradil by jsi prosím?

Většinou se potřebuješ nějak zamyslet. Zprava máš limitu lim ln x / (x + 1), pro x --> 0+ -- takže v čitateli zlomku je něco, co se blíží kladnými hodnotami k nule, ve jmenovateli je něco, co se blíží k jedničce (a vždycky je to > 1). Celkově je ten zlomek vždycky kladný a celý se blíží k nule zprava. Taky platí, že lim ln x = -oo, pro x --> 0+ (jenom zprava, ne zleva) -- to je asi celkem vidět z grafu logaritmu. Protože se ten zlomek teda blíží k nule zprava a víme, jak vypadá limita logaritmu, když se jeho argument blíží k nule zprava, tak je výsledek celého lim ln x / (x + 1) = -oo, pro x --> 0+.

Teď ale ještě limitu zleva. Zase tam máme zlomek x / (x + 1), ale teď se blížíme zápornými hodnotami -- čitatel je tedy vždycky záporný a blíží se k nule -- ve jmenovateli je něco, co se blíží k jedničce zleva, ale to pořád znamená, že jmenovatel je záporný. Celkově se tedy zlomek blíží k nule zleva. Jenomže lim ln x, pro x --> 0- neexistuje -- logaritmus vůbec není definovaný pro záporné hodnoty.

Jinak taky můžeš použít to l'Hospitalovo pravidlo, jak ukázal kolega stenly. To je asi jednodušší, protože je to prakticky celé jenom mechanické počítání. Ale nevím, jestli můžete používat l'Hospitala -- my ho až ke konci semestru používat nemohli.

Brake napsal(a):

a x -> oo to už asi chápu, děkuju...je to tedy ln 1 / (1+0) tím pádem ln 1 a to se rovná 0 takže výsledek je 0 že? :)
Jen se chci zeptat, jak u těhle limit postupovat? Vím totiž, že se tam většinou musí pokrátit xkem a pak dosadit, ale nevím, kdy ž můu dosazovat a kdy ne....musím to vždy upravit do té podoby, aby byl x jen v čitateli nebo jen ve jmenovateli a pak mohu dosazovat? nesmí tam vzniknout oo/oo a 0/0?

Ano, výsledek máš dobře.

S tím dosazováním -- v zásadě tam můžeš zkusit dosadit po každé úpravě -- ale musíš si dát pozor na to, kdy z toho dosazení dostaneš odpověď a kdy z toho dosazení dostaneš akorát to, že „Zatím nic nevíš“. Například když dosazením dostaneš některý z těch neurčitých výrazů (jako 0/0), tak je to případ, kdy ještě nic nevíš.

Např. můžeš zkusit dosadit hned do zadání u té limity pro x --> +00 -- dostaneš ln +oo / (+oo + 1) = ln +oo / +oo -- a protože +oo / +oo je neurčitý výraz, tak nic nevíš. Musíš to teda zkusit upravit nějak dál.