Matematické Fórum

jrn · 25. 11. 2011 11:43 — Editoval jrn (25. 11. 2011 11:44)

Zdravim, potřeboval bych pomoct s výpočtem limity z vyrazu
$\lim_{n\to\infty }\frac{(2n)!}{n^n}$

odhaduji, že výsledek bude +nekonečno. Zkoušel jsem to sendvičovou větou ale nějak mi to nejde správně odhadnout aby to bylo opravdu rigorozní. Např. jsem si vypsal pár prvků posloupnosti a zkoušel odhadnout "funkci čitatele", ale k žádnému závěru, s kterým bych byl spokojený, jsem se nedopracoval.
Dík za odpověď

Alivendes · 25. 11. 2011 14:20

Máš pravdu, bude to $+\infty$

Rumburak · 25. 11. 2011 14:21

Ahoj, snad pomůže odhad

$(2n) ! = \prod_{k = 1}^{2n} k = \prod_{k = 1}^{n} k \cdot \prod_{j = 1}^{n} (n + j)= n! \prod_{j = 1}^{n} (n + j) > n! n^n$ .

adrea33 · 25. 11. 2011 15:18

z hora bych to odhadla $\frac{(2n)^n}{n^n}$

jrn · 25. 11. 2011 16:15

↑ Rumburak: díky, o podobný zápis pomocí produktu jsem se ráno při písemce pokoušel :-))

↑ adrea33:
také děkuji, odhad je určitě správně, ale přijde mi, že do testu nemužu jen tak napsat tenhle výraz bez nějakého odůvodnění nebo?

Sulfan · 25. 11. 2011 16:24 — Editoval Sulfan (25. 11. 2011 16:27)

↑ jrn: Určitě by zafungovalo i podílové kritérium.

Edit: Podle náročnosti příkladu předpoklávám nějaký z posledních termínů, že?

jrn · 25. 11. 2011 16:43 — Editoval jrn (25. 11. 2011 16:46)

↑ Sulfan:
podílový kritérium skoro neumím použít :-/ díky za tip k řešení, nastuduju.
nene, byl to jen průběžný test z limit posloupností.
problém byl, že sem se limitám s faktorialama vyhýbal, tak sem to v testu moc nezvlád..

Sulfan · 25. 11. 2011 16:49 — Editoval Sulfan (25. 11. 2011 16:51)

↑ jrn: Myslel jsem takto:
$\lim \left | \frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{(n+1)}}}{\frac{(2n)!}{n^{n}}} \right |= \lim\frac{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!\cdot n^{n}}{(n+1)^{n}\cdot (n+1)\cdot (2n)!}= \\ = \lim\frac{2n+2}{n+1}\cdot \lim \left ( \frac{n}{n+1} \right )^{n}\cdot \lim (2n+1)=+\infty \cdot 2\cdot \frac{1}{e}=+\infty >1$

Ten pozdější termín u Pošty jsem myslel ve smyslu pozdější (=těžší) čas

jrn · 25. 11. 2011 17:12 — Editoval jrn (25. 11. 2011 17:13)

↑ Sulfan:
paráda díky, to se rozhodně doučim. škoda že na cvikách sme to vubec nepouživali..
Aha, tak to ses trefil, poslední termín no. To sem nevěděl že u Pošty roste obtížnost s časem, ale cvika v sedum s Humhalem sem si nemohl nechat ujít :-D

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2011 11:43 — Editoval jrn (25. 11. 2011 11:44)

limita posloupnosti

#2 25. 11. 2011 14:20

Re: limita posloupnosti

#3 25. 11. 2011 14:21

Re: limita posloupnosti

#4 25. 11. 2011 15:18

Re: limita posloupnosti

#5 25. 11. 2011 16:15

Re: limita posloupnosti

#6 25. 11. 2011 16:24 — Editoval Sulfan (25. 11. 2011 16:27)

Re: limita posloupnosti

#7 25. 11. 2011 16:43 — Editoval jrn (25. 11. 2011 16:46)

Re: limita posloupnosti

#8 25. 11. 2011 16:49 — Editoval Sulfan (25. 11. 2011 16:51)

Re: limita posloupnosti

#9 25. 11. 2011 17:12 — Editoval jrn (25. 11. 2011 17:13)

Re: limita posloupnosti

Zápatí