Matematické Fórum

peťka · 25. 11. 2011 22:13

pěkný večer, mám zadán přiklad $y=e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$ v intervalu <2,0> kde mám určit délku křivky ... obecný vzorec vím ...vím postup, ale nvm jak to počítat v tomdle případě, s těma $e$ ... mohl by někdo zkusit poradit?

Olin · 25. 11. 2011 22:43

Říkáš, že obecný vzorec víš. Co přesně tedy dělá problém? Derivování, úprava výrazu, integrování…?

peťka · 25. 11. 2011 22:51

dobře začnu derivací ... vyšla takto správně? $y=\frac{e^{\frac{x}{2}}-e\frac{-x}{2}}{2}$

Olin · 25. 11. 2011 22:53

Jo, to je správně. Teď umocnit na druhou, přičíst jedničku, upravit, odmocnit, zintegrovat…

peťka · 25. 11. 2011 22:57

mohl by jsi mi prosím pomoct s tím umocněním na druhou?

Olin · 25. 11. 2011 23:03

$\left( \frac{\mathrm{e}^{x/2} - \mathrm{e}^{-x/2}}{2} \right)^2 = \frac 14 \left( \left(\mathrm{e}^{x/2}\right)^2 - 2\left(\mathrm{e}^{x/2}\right)\left(\mathrm{e}^{-x/2}\right) +\left(\mathrm{e}^{-x/2}\right)^2\right) = \frac 14 \left ( \mathrm{e}^x - 2 + \mathrm{e}^{-x}\right)$

peťka · 25. 11. 2011 23:09

děkuji tedy :-) ... k tomu přičtu tu 1 jak je v obecném vzorci ...hodím pod odmocninu ... zintegruju :D kdyby to byl jakýkoliv jiný příklad, ale tohle vůbec nvm ... mohl by jsi(jste) mi prosím ještě zkusit poradit?

Olin · 25. 11. 2011 23:14 — Editoval Olin (25. 11. 2011 23:14)

Tady si buď člověk musí něčeho všimnout, nebo už musí mít s těmito funkcemi jisté zkušenosti. Hlavní trik je v tom, že

$1+\frac 14 \left ( \mathrm{e}^x - 2 + \mathrm{e}^{-x}\right) = \frac 14 \left ( \mathrm{e}^x \mathbin{\color{red}+} 2 + \mathrm{e}^{-x}\right)$ ,

a jelikož $\mathrm{e}^x - 2 + \mathrm{e}^{-x}$ vzniklo tak, že jsme umocnili na druhou jistý rozdíl, tak $\mathrm{e}^x + 2 + \mathrm{e}^{-x}$ vznikne tak, že na druhou umocníme …

No a jakmile ten výraz budeme mít jako druhou mocninu něčeho, úplně snadno ho odmocníme a výsledek se bude i snadno integrovat.

peťka · 25. 11. 2011 23:19

matematika nikdy nebyla má silná stránka, ale aspoň se to snaží pochopit ... mohl by jste(jsi) mi to prosím ukázat názorně ?

Olin · 25. 11. 2011 23:37

No, snažil jsem se říct, že

$1+\frac 14 \left ( \mathrm{e}^x - 2 + \mathrm{e}^{-x}\right) = \frac 14 \left ( \mathrm{e}^x + 2 + \mathrm{e}^{-x}\right) = \left( \frac{\mathrm{e}^{x/2} + \mathrm{e}^{-x/2}}{2} \right)^2$ ,

tím pádem

$\sqrt{1+\frac 14 \left ( \mathrm{e}^x - 2 + \mathrm{e}^{-x}\right)}= \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{e}^{x/2} + \mathrm{e}^{-x/2}}{2} \right)^2} = \frac{\mathrm{e}^{x/2} + \mathrm{e}^{-x/2}}{2}$ .

No a to už se snad zintegruje snadno, přinejhorším pomocí MAWu či Wolfram|alphy.

peťka · 25. 11. 2011 23:42

už vidím co jste se snažil mi vysvětlit ... děkuji mnohokrát

peťka · 25. 11. 2011 23:55

integruju integruju, zatím bezúspěšně ... mohl by jste mi jeste ukazat jak by jste to zintegroval ?

Olin · 26. 11. 2011 09:55 — Editoval Olin (26. 11. 2011 09:56)

$\int \mathrm{e}^{x/2}\,\mathrm{d}x = 2 \mathrm{e}^{x/2}$ ,

podobně se provede integrování toho druhého členu. Výsledek.

peťka · 27. 11. 2011 23:27

mohla bych poprosit o kompletní výsledek? Nějak se v tom ztrácím

Olin · 28. 11. 2011 14:47

$\int_0^2\frac{\mathrm{e}^{x/2}+\mathrm{e}^{-x/2}}{2} \,\mathrm dx = \left[ \mathrm e^{x/2} - \mathrm e^{-x/2} \right]_0^2$

peťka · 28. 11. 2011 15:03

Ano děkuji, už jsem si s tím poradila a mám to hotové :-) každopádně děkuju za rady :-)

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2011 22:13

délka křivky ...

#2 25. 11. 2011 22:43

Re: délka křivky ...

#3 25. 11. 2011 22:51

Re: délka křivky ...

#4 25. 11. 2011 22:53

Re: délka křivky ...

#5 25. 11. 2011 22:57

Re: délka křivky ...

#6 25. 11. 2011 23:03

Re: délka křivky ...

#7 25. 11. 2011 23:09

Re: délka křivky ...

#8 25. 11. 2011 23:14 — Editoval Olin (25. 11. 2011 23:14)

Re: délka křivky ...

#9 25. 11. 2011 23:19

Re: délka křivky ...

#10 25. 11. 2011 23:37

Re: délka křivky ...

#11 25. 11. 2011 23:42

Re: délka křivky ...

#12 25. 11. 2011 23:55

Re: délka křivky ...

#13 26. 11. 2011 09:55 — Editoval Olin (26. 11. 2011 09:56)

Re: délka křivky ...

#14 27. 11. 2011 23:27

Re: délka křivky ...

#15 28. 11. 2011 14:47

Re: délka křivky ...

#16 28. 11. 2011 15:03

Re: délka křivky ...

Zápatí