Matematické Fórum

check_drummer

Ahoj,
dnes jsem při běhu zformulovat sadu následujících úloh (možná je však jejich řešení známé a nebo triviální...). V podstatě jde o to, zda existují dostatčně blízko u sebe dvě přirozená čísla, jejichž rozklad na prvočinitele obsahuje dostatečný počet těchto prvočinitelů.

Označme d(n) počet prvočinitelů (ne nutně různých) v rozkladu čísla n na prvočinitele. Např. d(12)=3.

Rozhodněte, které z následujících tvrzení platí:
1) $(\forall k\in \mathbb{N})(\exists n \in \mathbb{N})(d(n)\ge k \wedge d(n+1) \ge k)$
2) (slabší verze bodu 1) $(\exists c \in \mathbb{N})(\forall k\in \mathbb{N})(\exists n,m \in \mathbb{N})(d(n)\ge k \wedge d(m) \ge k \wedge |m-n| \le c)$
3) $(\forall k\in \mathbb{N})(\exists n \in \mathbb{N})(d(n)\ge k \wedge d(n+2) \ge k \wedge P(n+1))$ , kde P(m) znamená "m je prvočíslo".
3b) (Nové)(slabší verze bodu 3) - viz ↑ FailED:) $(\forall k\in \mathbb{N})(\exists n \in \mathbb{N})((d(n)\ge k \vee d(n+2) \ge k) \wedge P(n+1))$ .
4) Řešte 1) - 3) s tím, že v definici d(n) uvažujeme pouze různé prvočinitele.

FailED · 26. 11. 2011 15:06 — Editoval FailED (27. 11. 2011 02:08)

Ahoj, pěkné

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

3) Tady mi není ani jasné, proč by mělo platit $(\forall k\in\mathbb{N})(\exists p\in\mathbb{P})(d(p-1)\ge k\vee d(p+1)\ge k)$

check_drummer · 26. 11. 2011 23:14

↑ FailED:
Ahoj, nevidím v součinu definující a,b výrazy, které se mají násobit. Ale nejspíš prvočísla pi, že?
Opravdu $|c_1|a, |c_2|b$ vyhovují? Jejich rozdíl přece může být "neomezeně" velký...

Pavel Brožek · 26. 11. 2011 23:36

↑ check_drummer:

Ahoj, jedno z čísel $c_1$ a $c_2$ bude kladné a jedno záporné (kdyby byla obě záporná, pak $c_1a+c_2b<0$ , kdyby byla obě kladná, tak $c_1a+c_2b>1$ ). Dejme tomu, že $c_2$ bude záporné. Pak $|c_1|a-|c_2|b=1$ , tj. $|c_1|a=|c_2|b+1$ .