Matematické Fórum

joker · 21. 08. 2008 14:12

Prosím o pomoc s triviálním příkladem:

Vypočtěte a1 a a37.

jelena · 21. 08. 2008 15:07 — Editoval jelena (21. 08. 2008 15:32)

↑ joker:

Zdravím :-)

použiješ vzorce pro aritmetickou posloupnost a dosadiš to, co máš ze zadání, trochu úprav:

$a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d\nl a_{37} = a_1 + (37 - 1)\cdot{\frac13}$

$s_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}\nl s_{37} = \frac{37 \cdot (a_1+a_1+ (37 - 1)\cdot {\frac13} )}{2}\nl209\frac23= \frac{37 \cdot (a_1+a_1+ (37 - 1)\cdot {\frac13} )}{2}\nl\nl\frac{629}{3}= \frac{37 \cdot (2a_1+ (37 - 1)\cdot {\frac13} )}{2}$

levou a pravou stranu podelit 37, vynasobit 6 a otevrit zavorky, hledas neznamou a_1.

OK?

Editace: opravila jsem, co jsem omylem odmazala pri kopirovani.

Editace 2: další příspěvek od kolegy (no to si troufám, že :-) musixx, kterého rovněž zdravím, má daleko větší systematizační hodnotu, než to mé polopatické povídaní (ale snad také poslouží) - neviděla jsem nikoho online, tak jsem to naklepala.

musixx · 21. 08. 2008 15:15 — Editoval musixx (21. 08. 2008 15:21)

Aritmetickou posloupnosti budeme znacit posloupnost
$a_1,a_2,a_3,...$ ,
kde
$a_{i+1}-a_i=d$ je fixni cislo $d$ pro vsechna $i\geq1$ .

Dale budeme
$S_i=a_1+a_2+\cdots+a_i=\sum_{j=1}^ia_j$
znacit soucet prvnich $i$ clenu teto posloupnosti. Shodujeme se ve znaceni? Asi ano...

Jako parametry takove posloupnosti nam teda muzou slouzit $a_1$ a $d$ . Celou posloupnost si pak lze predstavovat jako
$a_1\nla_1+d\nla_1+2d\nla_1+3d\nla_1+4d\nla_1+5d\nl\cdots$

Pak mame
$S_i=i\cdot a_1+d\cdot\sum_{j=1}^{i-1}j=i\cdot a_1+d\cdot\frac{i(i-1)}2$ .
Zde jsem pouzil vzorecek pro soucet $1+2+3+4+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$ , ktery zde nebudu primo odvozovat (pro vsimave: jednu z moznych uvah udelam stejne na konci tohoto prispevku). Jen upozornuju, ze v citateli mam $i(i-1)$ proto, ze suma jde jen do $i-1$ .

Ted uz jen dosadim 37:
$209\frac23=37\cdot a_1+\frac13\cdot\frac{37\cdot36}2$ ,
odkud je $a_1=-\frac13$ .

Nebot $a_i=a_1+(i-1)d$ pro $i\geq1$ , tak $a_{37}=-\frac13+36\cdot\frac13=11\frac23$ .

-------------------------------------------------------------

Druha moznost reseni, vysvetlena spise intuitivne: Staci si uvedomit, ze budu-li v aritmeticke konecne posloupnosti scitat prvni clen s poslednim, druhy s predposlednim, treti s predpredposlednim a tak dale, tak tyto soucty budou stale stejne. Vezmu-li teda polovinu souctu napriklad prvniho a posledniho clenu, dostavam tak jakysi "prumerny clen". No a ten vynasobeny poctem clenu musi dat cely soucet. Cela uvaha funguje jak pro sudy, tak pro lichy pocet clenu.

Ted uz si jen staci uvedomit jiz vyse napsane $a_i=a_1+(i-1)d$ pro $i\geq1$ a mame:
$209\frac23=37\cdot\frac{a_1+a_{37}}2=37\cdot\frac{a_1+a_1+36d}2=37\cdot\frac{2a_1+36\cdot\frac13}2$ ,
odkud $a_1=-\frac13$ . No a $a_{37}$ se uz dopocita stejne jako vyse.