Matematické Fórum

Pajaa · 27. 11. 2011 00:08

Dobrý den, mám problém s úlohou zaměřenou na derivaci funkce v bodě. Na základě definice derivace mám určit derivaci funkce f v bodě a > 0.
Zadání: $f:y=\frac{1}{\sqrt x}$
Můj postup:
$f(a)=\frac{1}{\sqrt a}$
$f(a+h)=\frac{1}{\sqrt (a+h)}$

$f'(a)=lim_{x->0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = lim_{x->0} \frac{\frac{1}{\sqrt (a+h)}-\frac{1}{\sqrt a}}{h}$
a dále se prostě nedostanu, mám tam stále nějaké chyby.
ještě bychto mohl upravit:
$lim_{x->0} \frac{\frac{\sqrt a - \sqrt(a+h)}{\sqrt(a+h)*\sqrt a}}{h}$
Teď už fakt nevím, jak dál :( Prosím o radu. Nebo mám snad celý postup špatně?:) Děkuji.

Phate · 27. 11. 2011 01:06 — Editoval Phate (27. 11. 2011 01:07)

Ta limita ma byt pro h jde k nule a ne x. Jinak cesta zatim spravna, ted to uprav na jeden zlomek(s jednou zlomkovou carou) a vhodne rozsir, aby ses zbavila odmocnin v citateli. Pekne se ti pak odeckou acka a zustane tam jen h a to pokratis v citateli i jmenovali. A pak uz muzes s cistym svedomim poslat h k nule a vycislit :)

lajk · 27. 11. 2011 14:57 — Editoval lajk (27. 11. 2011 15:27)

Také by mě zajímalo co s tím. Mělo by to být pro všechna a>0 takže takto, samozřejmě všude lim h->0 $\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{h} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x+h})}{\sqrt{(x+h)x}h} = \frac{x-x+h}{\sqrt{(x+h)x}*h*(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}$
pokrátím h a zbyde mi $\frac{1}{x2\sqrt{x}}$ díky
edited

Phate · 27. 11. 2011 15:08 — Editoval Phate (27. 11. 2011 15:10)

↑ lajk:
zbavit se je potreba odmocnin v citateli, teda rozsirit vyrazem $\sqrt{x}+\sqrt{x+h}$ a ne $\sqrt{(x+h)*x}$

Phate · 27. 11. 2011 18:32

povedlo se?

rendy139

$lim_{x->0} \frac{\frac{\sqrt a - \sqrt(a+h)}{\sqrt(a+h)*\sqrt a}}{h} =lim_{x->0} \frac{\sqrt a - \sqrt(a+h)}{h * \sqrt(a+h) * \sqrt a } * \frac{\sqrt a + \sqrt(a+h)}{\sqrt a + \sqrt(a+h)} =$
$lim_{x->0} \frac{a-a-h}{(\sqrt a + \sqrt(a+h)) * h * \sqrt(a+h) * \sqrt a} =$
$lim_{x->0} \frac{-1}{(\sqrt a + \sqrt(a+h)) * \sqrt(a+h) * \sqrt a}=$
$lim_{x->0} \frac{-1}{a*\sqrt(a+h) + (a+h) * \sqrt a}$
..takhle mi to zatím vyšlo.. nevím, jestli to je dobře, ale asi ne, jelikož derivace v bodě $1$ mi vychází $\frac{-1}{2}$ , což si myslím, že je špatně..$

((:-)) · 27. 11. 2011 20:41 — Editoval ((:-)) (27. 11. 2011 20:42)

↑ rendy139:

Prečo myslíš, že je číslo $-\frac 12$ ako hodnota derivácie v bode 1 zle?

Derivácia tejto funkcie $f:y=\frac{1}{\sqrt x}$ je $-\frac {1}{2x^{\frac 32}}$ .

Keď dosadíš za x číslo 1 (derivácia v bode 1), tak dostaneš tú $-\frac 12$ ...

rendy139 · 27. 11. 2011 20:43

jojo, teďka jsem to akorát chtěla opravit, počítám si to a vyšlo mi to :) ..děkuji

Pajaa · 28. 11. 2011 10:40

Děkuji, už jsem to spočítal :)

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2011 00:08

Derivace funkce v bodě

#2 27. 11. 2011 01:06 — Editoval Phate (27. 11. 2011 01:07)

Re: Derivace funkce v bodě

#3 27. 11. 2011 14:57 — Editoval lajk (27. 11. 2011 15:27)

Re: Derivace funkce v bodě

#4 27. 11. 2011 15:08 — Editoval Phate (27. 11. 2011 15:10)

Re: Derivace funkce v bodě

#5 27. 11. 2011 18:32

Re: Derivace funkce v bodě

#6 27. 11. 2011 20:05 — Editoval rendy139 (27. 11. 2011 20:06)

Re: Derivace funkce v bodě

#7 27. 11. 2011 20:41 — Editoval ((:-)) (27. 11. 2011 20:42)

Re: Derivace funkce v bodě

#8 27. 11. 2011 20:43

Re: Derivace funkce v bodě

#9 28. 11. 2011 10:40

Re: Derivace funkce v bodě

Zápatí