Matematické Fórum

armorgrief · 28. 11. 2011 12:39

Ahoj
Nikde v učebnici ani na google jsem nenašel její znění

nenosíte jí náhodou někde v hlavě:)?

děkuju

Rumburak · 28. 11. 2011 13:26

↑ armorgrief:
Ahoj, pokud rozumíme té "obecné" větě o limitě složené funkce (tj. dovedeme ji dokázat), tak není těžké zformulovat některou její "jednostranou" versi,
například shruba takto:

Jestliže $g$ je spojitá v bodě $b$ a $\lim_{x\to a+} f(x) = b$ , potom $\lim_{x\to a+} g\circ f(x) = g(b)$ .

Když předpoklady šikovně pozměníme (tím ale nemyslím nahradit symbol a+ symbolem a-) , dostaneme další větu .

armorgrief

hmm..mám menší zádrhelek...prosím zkontrolujte můj postup a odůvodnění

$\lim_{x\to0^{+}}\ln (\mathrm{e}^{x}-1)$
vnitřní funkce je, $f(x)=e^{x}-1$
vnější fuknce $g(y)=ln(y)$

$\lim_{x\to0^{+}}(\mathrm{e}^{x}-1)=0$ ....protože je v R spojitá...to znamená,že limity v každém bodě se rovnají funkčním hodnotám....a to znamená,že limity z prava i zleva v každém bodě jsou si rovny a rovnají se limitě v bodě..

teďka vezmu limitu zprava vnitřní funkce-0 a nechám k ní jít vnejší fuknci---ale uz ne jenom zprava..ale normalne pokud to spravne chapu

takže bych tedy měl počítat $\lim_{y\to0}ln(y)$ .. ale ...ona má limitu v 0 jen zprava...z čehož bych vyvodil,že celá složená fuknce nemá limitu...

dělal jsem to správně?

armorgrief · 28. 11. 2011 14:06

jinak řečeno
platí toto??

necht $\lim_{x\to b^{+}}f(x)=D$
a $\lim_{y\to D}g(y)=A$

pak platí,...když je teda splněna aspoň jedna z těch 2 dalších podmínek(prostota f(x) v nějakém okoli D,spojitost g(y) v bode D)

že $\lim_{x\to b^{+}}(g(f(x))=A$

??

prostě že tu jednostranou limitu řeším jen u vnitřní a u vnější potom ne

Rumburak

↑ armorgrief:
Nemělo tam místo $\lim_{x\to0^{+}}\ln (\mathrm{e}^{x}-2)$ být $\lim_{x\to0^{+}}\ln (\mathrm{e}^{x}-1)$ .

Tady je potřeba uvážit, že funkce $y=f(x):=e^{x}-1$ je rostoucí, takže - speciálně - pro libovolné $x>0$ je $f(x) > f(0)$ .
Populárně řečeno: "Když x jde k 0 ZPRAVA, potom i f(x) jde k f(0) ZPRAVA" , tudíž takové f(x) nevypadne z definičního oboru logaritmu
a můžeme proto psát

$\lim_{x \to 0+} \ln(\mathrm{e}^{x}-1) = \lim_{y \to 0+} \ln y$ .

EDIT. Snad je tím vysvěetlen i dotaz z příspěvku ↑ armorgrief:.

armorgrief

no...takže obecně platí toto?

$\lim_{x\to a^{+}}(g(f(x))=\lim_{y\to \lim_{x\to a^{+}}f(x)^{+}} g(y)$
nebo toto

$\lim_{x\to a^{+}}(g(f(x))=\lim_{y\to \lim_{x\to a^{}}f(x)^{+}} g(y)$

jde o to,jestli tu pravostranost řešit také u té vnitřní funkce nebo jen u te vnější

divoký zápis...vím a omlouvám se za to:))

nechci,aby muj dotaz znel komplikovane...

takze..kdyz dostanu slozenou funkcni a mam najit limitu v nejakem bode a ZPRAVA...
udelam to tak,ze najdu limitu vnitrni funkce v bode a ZPRAVA...tato limita bude A
pak vypocitam limitu vnejsi funkce v bode A ZPRAVA a tato limita bude limitou moji puvodni slozene funkce,??

Rumburak · 28. 11. 2011 17:00

↑ armorgrief:

Toto $\lim_{x\to a^{+}}g(f(x))=\lim_{y\to \lim_{x\to a^{+}}f(x)^{+}} g(y)$ ani toto $\lim_{x\to a^{+}}g(f(x))=\lim_{y\to \lim_{x\to a^{}}f(x)^{+}} g(y)$

obecně neplatí, vždy záleží na tom, jak jsou zkombinovány jemnější vlastnosti obou těchto funkcí.

Příjměme základní předpoklad

(0) $\lim_{x\to a+}f(x) = L \in \mathbb{R}$ ,

a hledejme další předpoklady, které k němu přidat, aby platilo

(1) $\lim_{x\to a^{+}}g(f(x)) = \lim_{y \to L*}g(y)$ ,

kde $L*$ je některá z variant $L , L+, L-$ . Uveďme několik typických případů.

I. Nejjednodušší je případ, když $g$ je spojitá v bodě $L$ . Potom žádné další předpoklady nejsou potřeba a (1) platí ve všech uvažovaných
vaiantách.

II. Když $g$ NENí spojitá v bodě $L$ , avšak existuje $\lim_{y \to L}g(y)$ , tak musíme k (0) přidat předpoklad, že fce $f$ v dostatečné blízkosti
bodu $a$ zprava nenanabývá hodnoty $L$ (na případné hodnotě $f(a)$ samozřejmě nezáleží). Vztah (1) pak opět ptlatí ve všech
uvažovaných variantách.

III. Když oboustranná $\lim_{y \to L}g(y)$ neexistuje, ale existuje $\lim_{y \to L+}g(y)$ , tak musíme k (0) přidat předpoklad, že v dostatečné blízkosti
bodu $a$ zprava je $f(x) > L$ (pokud by $g$ byla navíc spojitá v bodě $L$ , stačila by zde neostrá nerovnost). To proto, aby limititu (1) nepokazilo
nepříhodné chování funkce $g$ nalevo od bodu $L$ . V (1) pak platí varianta $L+$ .
Analogicky bychom mohli ošetřit situaci, kdy místo $\lim_{y \to L+}g(y)$ existuje $\lim_{y \to L-}g(y)$ , a sice tím, že místo nerovnic $f(x) > L$ resp.
$f(x) \ge L$ v pravém okolí bodu $a$ bychom předpokládali $f(x) < L$ resp. $f(x) \le L$ v tomtéž (tj. pravém) okolí bodu $a$ .
V (1) by pak platila varianta $L-$ .

Snad je odtud zřejmé, že nemá smysl se zde drtit nazpaměť nějaká mechanické pravidla - lepší a méně náročné je tomu rozumět.