Matematické Fórum

Arcasil · 29. 11. 2011 00:33

Zdravím,
Vyšetřuji konvergenci této řady:

$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n^{3}(2+(-1)^{n})^n{}}{3^{n}}$

Chtěl bych si zeptat, zda-li je korektní když si tuto řadu vyjádřím jako součet řady s lichými členy a se sudými členy

$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n^{3}(2+(-1)^{n})^n{}}{3^{n}} = \sum_{n=2k}^{\infty } \frac{n^{3}(2+(-1)^{n})^n{}}{3^{n}} + \sum_{n=2k-1}^{\infty } \frac{n^{3}(2+(-1)^{n})^n{}}{3^{n}}$

,kde k je přirozené číslo.

Řada $\sum_{n=2k}^{\infty } \frac{n^{3}(2+(-1)^{n})^n{}}{3^{n}}$ se zjednoduší na $\sum_{n=2k}^{\infty }n^{3}$

a to je řada, která jistě diverguje - tedy z mé úvahy i řada $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{n^{3}(2+(-1)^{n})^n{}}{3^{n}}$ diverguje.

Je to správně?

Rumburak

↑ Arcasil:k

Rozklad tohoto typu je korektní pouze u takových řad $\sum a_n$ , které splňují podmínku, že alespoň jedna z řad $\sum a_n^+$ , $\sum a_n^-$ konvergeje.
(Při tom $x^+ := \max \{ x, 0\}$ , $x^- := \max \{ -x, 0\}$ . )

Muselo by se to ale zapsat přesnějí, než jak jsi to provedl Ty. Jinak Tvá úvaha je v zásadě správná (řada z "lichých" členů konverguje).

V případě Tvé úlohy není třeba jít až tak daleko, stačí dokázat, že není splněna podmínka $\lim_{k \to \infty} a_{2k} = 0$ .

Arcasil · 29. 11. 2011 12:59

↑ Rumburak: Díky

Matematické Fórum

#1 29. 11. 2011 00:33

Konvergence řady

#2 29. 11. 2011 10:58 — Editoval Rumburak (30. 11. 2011 10:28)

Re: Konvergence řady

#3 29. 11. 2011 12:59

Re: Konvergence řady

Zápatí