Matematické Fórum

klise · 29. 11. 2011 17:58

Prosím o pomoc s vyřešením:

x3−1−i=0

Děkuji za pomoc.

LáďaCZ · 29. 11. 2011 18:27

Převeď -1-i na goniometrický tvar a pak rozděl na tři části. Jestli to tedy je $x^{3}$

Anonymystik

$x^{3} = 1+i$
$x^{3} = \sqrt{2}(cos(\frac{\pi }{4})+i sin(\frac{\pi }{4}))$
$x = \sqrt[3]{\sqrt{2}(cos(\frac{\pi }{4})+i sin(\frac{\pi }{4}))}$
Zbytek je Moivreova věta.

Alivendes

Ahoj, nejprve upravíme do tvaru x=a

$x^3-1-i=0$
$x^3=1+i$

Komplexní číslo si označíme z

$|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt2$

Nyní máme v Gaussově rovinně trojúhelník s odvěsnami délky 1 a přeponu délky $\sqrt2$

Pro úhel, který svírá komplexní číslo v gaussově rovinně platí:

$sin \alpha=\frac{1}{\sqrt2}$
$\alpha=\frac{\pi}{4}$
$\Rightarrow cos\alpha=\frac{1}{\sqrt2}$

Pro tento úhel platí, že sinus a cosinus jsou stejné

Goniometrický tvar komplexního čísla:
$z=\sqrt2(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$

Použijeme Moiverovu větu:
$\sqrt[n]z=\sqrt[n]{|z|}(\cos{\frac{\alpha+2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{\alpha+2k\pi}{n}})$

Pro naše komplexní číslo:
$x_{123}=\sqrt[6]{2}(\cos{\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{n}}) \nl k\in {{0,1,2}}$

Alivendes

↑ LáďaCZ:↑ Anonymystik:
Díky za Vaší aktivitu, již jsem se ale přihlásil k odběru tématu, bohužel mi nefungoval scanner a musel jsem to přepsat do počítače.

↑ Anonymystik:
Máš špatně absolutní hodnotu

Anonymystik · 29. 11. 2011 18:48

↑ Alivendes: Díky, už jsem to opravil.

LáďaCZ · 29. 11. 2011 18:54

↑ LáďaCZ: Tedy $x^{3}=1+i$ pak $x^{3}=\sqrt{2}(cos( \pi /4)+isin(\pi /4))$ výsledek tedy $x=\sqrt[6]{2}(cos( \pi /12)+isin(\pi /12))$ a $x=\sqrt[6]{2}(cos( 9\pi /12)+isin(9\pi /12))$ $x=\sqrt[6]{2}(cos( 17\pi /12)+isin(17\pi /12))$

Najdeš to jistě v nějaké učebnici