Matematické Fórum

hans_ · 07. 11. 2007 20:15

Mám vyřešit tento příklad, ale nevím si s ním rady.
Dík moc.

Řešte v R logaritmickou rovnici:

jelena · 07. 11. 2007 20:54 — Editoval jelena (07. 11. 2007 20:54)

(log x)^-1 to je 1/logx,

ted pouziji substituci log x y a po male uprave dostaneme kvadratickou rovnici:
1
log x - 2 = 3*-------
log x

y - 2 = 3/y vynasobim y (y nesmí byt 0)

y^2 - 2y = 3 prevedu na jednu stranu

y^2 - 2y -3 = 0

y1 = 3, y2 = -1 (nic neni 0, nasobeni y bylo bez problemu)

vratim substituci:
log x = 3, x = 1000
log x = -1, x = 0,1

je vsechno jasne?

TheDeathTime

Mohl byste mi prosim poradit s timto prikladem? Trosku polopaticky? Mam ho vyresit a vubec nevim jak.
Diky moc.

Reste v R logaritmickou rovnici:
$1 + logx^3 = \frac{10}{logx}$

Jeste bych rad dodal, ze vysledek ma vyjit $\frac{1}{100} \vee x=\sqrt[3]{10^5}$ . Me nevysel, prosim, co nejdrive. Dekuji

Olin · 11. 11. 2007 16:40

Tak tady půjde o to, že
$\log(x^3) = 3 \log x$

Čímž dostaneš tvar
$1 + 3 \log x = \frac{10}{\log x}$

Což opět snadno vyřešíš substitucí.

Pokud si ovšem nemyslel jako $(\log x)^3$ , to by bylo trošku těžší…

TheDeathTime · 11. 11. 2007 16:47

Ne myslel sem to takhle... problem je ale v tom, ze me absolutne nevychazi ten vysledek, ktery je napsany v ucebnici. Nevim cim to je.

Olin · 11. 11. 2007 16:57

No tak když dojedu řešení do konce substitucí $\log x = y$

$1 + 3y = \frac{10}{y} \nl y + 3y^2 = 10 \nl 3y^2 + y - 10 = 0 \nl y_1 = -2 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{100} \nl y_2 = \frac{5}{3} \Rightarrow x_2 = 10^{5/3}$

TheDeathTime

Ano, uz je mi to jasnejsi, ale stale nechapu ten prevod
$y_1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{100}; y_2 = \frac{5}{3} \Rightarrow x_2 = \sqrt[3]{10^5}$

Mozna sem nechapavej ale fakt nevim.

TheDeathTime

Prosil bych o radu jeste v jednom prikladu:

Reste logaritmickou rovnici v R:
$\frac{1}{1 + log x} + \frac{5}{3 - log x} = 3$

Predem dekuji

Olin · 11. 11. 2007 20:20

No k tomu prvnímu:

Vztah
$\log x = -2$

je ekvivalentní se vztahem
$x = 10^{-2} = \frac{1}{100}$

Stačí si uvědomit definici logaritmu, aspoň tak to do nás pořád hustí naše matikářka :)

K druhé úloze:
Pro změnu si dej substituci log x = y a vynásob rovnici oběma jmenovateli.

TheDeathTime

ano tak sem se to snazil pocitat, dospel sem k tomu ze:
$x = -\frac{5}{4}$

co s tim dal, kdyz potrebuju vysledek $x=10^-\frac{1}{3} \vee x=10$

jo, muzu te tak do stredy otravovat s logaritmy? ve stredu pisem pisemku, a myslim, ze ta to rozsekne :-)

Olin · 11. 11. 2007 22:26

Nechceš raději napsat přesně, jak jsi to řešil? Obvykle víc pomůže analýza chyb než jen ukázky řešení.

TheDeathTime

Oprava, opet jsem spatne pocital, toto je konecny spravny postup:

logx = y
$\frac{1}{1+y} + \frac{5}{3-y} = 3 /*(1+y)*(3-y)$
$3 - y + 5 + 5y = 3*(1+y)*(3-y)$
$8 + 4y = 9 + 6y - 3x^2$
$3y^2 - 2y - 1 = 0$

$y_1,2 = \frac{2 +- \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 +- 4}{6}$
$y_1 = 1$
$y_2 = -\frac{1}{3}$

Tak toto vyslo, ale nechapu ten vztah jak tyto dva koreny nacpat do konecne podoby vysledku, ktery jsem psal v predchozim prispevku. Muzes mi poradit zpusob, jak ho tam dostanu??? Existuje na to nejaka metoda?

Olin · 12. 11. 2007 21:50

No podívej se, ty dva ypsilony, co ti vyšly, jsou vlastně dva různé logaritmy x. takže řešíš:
$\log x_1 = y_1 \nl \log x_2 = y_2$

Přičemž když "desítku umocníš na obě strany", dostaneš:
$10^{\log x_1} = 10^{y_1} \nl 10^{\log x_2} = 10^{y_2}$

Což si upravíš podle definice logaritmu a dostaneš
$x_1 = 10^{y_1} = 10\nl x_2 = 10^{y_2} = 10^{-1/3}$

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2007 20:15

Logaritmická rovnice

#2 07. 11. 2007 20:54 — Editoval jelena (07. 11. 2007 20:54)

Re: Logaritmická rovnice

#3 11. 11. 2007 16:34 — Editoval TheDeathTime (11. 11. 2007 16:46)

Re: Logaritmická rovnice

#4 11. 11. 2007 16:40

Re: Logaritmická rovnice

#5 11. 11. 2007 16:47

Re: Logaritmická rovnice

#6 11. 11. 2007 16:57

Re: Logaritmická rovnice

#7 11. 11. 2007 17:09 — Editoval TheDeathTime (11. 11. 2007 17:10)

Re: Logaritmická rovnice

#8 11. 11. 2007 18:11 — Editoval TheDeathTime (11. 11. 2007 18:14)

Re: Logaritmická rovnice

#9 11. 11. 2007 20:20

Re: Logaritmická rovnice

#10 11. 11. 2007 21:20 — Editoval TheDeathTime (11. 11. 2007 21:30)

Re: Logaritmická rovnice

#11 11. 11. 2007 22:26

Re: Logaritmická rovnice

#12 12. 11. 2007 21:03 — Editoval TheDeathTime (12. 11. 2007 21:08)

Re: Logaritmická rovnice

#13 12. 11. 2007 21:50

Re: Logaritmická rovnice

Zápatí