Matematické Fórum

Luccy · 30. 11. 2011 16:21

Dobrý den, prosím o pomoc s tímto příkladem:

Délky hran dvou krychlí jsou v poměru 3:2, povrch první krychle je o 120 $cm^{2}$ větší než povrch druhé. Určete délku hrany třetí krychle, jejíž objem se rovná součtu objemů obou daných krychlí.

Hrozně ráda bych tady napsala jak jsem postupovala, ale bohužel nevím od čeho se odpíchnout.

Mělo by vyjít $2\sqrt[3]{35} cm$

Děkuju za jakoukoliv radu :)

janca361 · 30. 11. 2011 16:26

$S=6a^2$
$S_1=6a_1^2$ , $S_2=6a_2^2$

$a_1:a_2 \\ 3:2$
=> $a_1=3d$ , $a_2=2d$

povrch první krychle je o $120cm^{2}$ větší než povrch druhé

$S_1+120=S_2$
$S_1=6a_1^2=6(3d)^2$
$S_2=6a_2^2=6(2d)^2$

Zvládneš to dál?

Luccy · 30. 11. 2011 16:33

↑ janca361:

Bohužel asi ne, myslím, že můj hlavní problém je v tom, že je tam hodně "neznámých"

janca361 · 30. 11. 2011 16:46

$S_1+120=S_2$
$S_1=6a_1^2=6(3d)^2$
$S_2=6a_2^2=6(2d)^2$

$S_1+120=S_2$
Dosadíš:
$6(3d)^2+120=6(2d)^2$
-rovnice o 1 neznámé. Zvládneš vypočítat $d$ ?

Luccy · 30. 11. 2011 16:52

↑ janca361:

No mě vyšlo, že d= -4 což je samozřejmě špatně a pak dál nevím, jak to souvisí s tou délkou hrany třetí krychle. Opravdu se omlouvám, ale já s matematikou nekamarádím a se stereometrii už vůbec.

janca361 · 30. 11. 2011 17:25

$6(3d)^2+120=6(2d)^2 \nl 6 \cdot9d^2+120=6 \cdot 4d^2 \nl \ldots 30(d^2+4)=0$
Kdy se $30(d^2+4)=0$ rovná nule?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Dokážeš určit délky stran krychlí?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

LukasM · 30. 11. 2011 18:11 — Editoval LukasM (30. 11. 2011 18:12)

↑ janca361:
No pozor. Rovnice $30(d^2+4)=0$ pro d nemá reálné řešení (na levé straně je vždy alespoň 120). Když tam dosadíš tu 2ku co ti "vyšla", tak je na levé straně 30(4+4)=240.

Problém je v tom, že pokud $S_1$ je o 120cm^2 větší než $S_2$ , tak se to zapíše $S_1=S_2+120$ . Tys to udělala opačně, a vlastně jsi chtěla, aby krychle s tou kratší stranou měla větší povrch.

Jinak zavádět to d bych řekl není nutné, stačí hned na začátku napsat, že $2a_1=3a_2$ . Ale to je už otázka vkusu, asi to ani nebude víc psaní. To je jen taková poznámka.

Luccy · 01. 12. 2011 07:10

↑ janca361:

Pořád NECHÁPU CO TO MÁ SPOLEČNÉHO S HRANOU 3. KRYCHLE

Cheop · 01. 12. 2011 07:47 — Editoval Cheop (02. 12. 2011 13:42)

↑ Luccy:
Tak to napíši přehledně
a_1 - hrana větší krychle
a_2 - hrana menší krychle
a_3 - hrana třetí krychle (máme určit)
Ze zadání platí:
1)
$6a_1^2-6a_2^2=120\\a_1^2-a_2^2=20$ - rozdíl povrchů prvních dvou krychlí je 120 cm^2
2)
$\frac{a_1}{a_2}=\frac 32\\a_1=\frac{3a_2}{2}$ - délky hran krychlí jsou v poměru 3:2
Rovnici 2) dosadíme do rovnice 1)
$\left(\frac{3a_2}{2}\right)^2-a_2^2=20\\9a_2^2-4a_2^2=80\\a_2^2=16\\a_2=4$
Dopočítáme hranu první krychle:
$a_1^2-a_2^2=20\\a_1^2-16=20\\a_1^2=36\\a_1=6$

Dle zadání má být objem 3-tí krychle součtem objemů prvních dvou krychlí tj:
$V_3=V_1+V_2\\V_3=a_3^3=a_1^3+a_2^3\\a_3^3=6^3+4^3=216+64\\a_3^3=280\\a_3=\sqrt[3]{280}\\a_3=\sqrt[3]{8\cdot 35}\\a_3=2\sqrt[3]{35}\quad\text{cm}$
Řešení: