Matematické Fórum

CryWolf · 24. 11. 2011 22:00

Dobrý den, nedokážu vyřešit dva příklady na substituci.
1) $\int_{}^{}\frac{1}{4+9x^{2}}dx=$

2) $\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{2-3x^{2}}}dx=$

Jde mi o tu substituci,mám řešení a výsledek,jenže ta substituce začíná u 1) takto $3x=2t$
A substituce začíná u 2) takto $3x^{2}=2t^{2}$

A já nevím, jak se ktomu dostanu,abych mohl pokračovat dál,poradí někdo??

Andrejka3

Tak dobře. Znění substitučních vět bych musela vymýšlet po každé asi tak půl hodiny. Naštěstí ale existuje způsob, jak si to zapamatovat, ale matematici ho asi moc rádi nemají.

a) Uvědomíme si nejdřív, na jakých intervalech hledáme primitivní funkci. U toho prvního je to pro interval $(-\infty, \infty)$ , funkce, kterou integrujeme je tam totiž spojitá a na celém tomto intervalu jistě primitivní funkce existuje.
b) Jak jsem slíbila. Co znamená substituce 3x=2t? Vkládáme tam jakousi funkci $t(x) = \frac{3}{2}x$ . Tato funkce je rostoucí, hladká. Zobrazuje interval $(-\infty, \infty)$ na $(-\infty, \infty)$ a její inverze taky.
Teď ten trik:
$\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} =3/2$
To je jeste pravda, ale ted se budeme k tomu symbolu chovat šeredně a budeme ho brát jako zlomek a napíšeme nasledujici nesmysl:
$\mathrm{d} t =3/2 \mathrm{d} x \rightarrow \mathrm{d} x = \frac{2}{3} \mathrm{d} t$ .
Dosadime do puvodniho vzorce
$\int{\frac{1}{4+9 \left( \frac{4t^2}{9}\right)}} \frac{2}{3} \mathrm{d}t$
A pokracujeme dal, jakoby se nic nestalo :)

CryWolf · 24. 11. 2011 23:06

↑ Andrejka3:

Hm,děkuju,ale nechápu to stejně...nevím ani jak přijdu na tu substituci 3x=2t...Kouká to z toho zadání,já to vidim,ale neumim se ktomu dostat...

No a takových příkladů mám ještě 11..:((

Andrejka3 · 24. 11. 2011 23:13

↑ CryWolf:
Bez obav. Počítáním dostaneš vhled. Umíš to dopočítat? Takové typy příkladů pak budeš počítat okamžitě, bez substituce.

CryWolf · 24. 11. 2011 23:27

↑ Andrejka3:
:D No,já asi ne....Dopočítat to už umím,ale neumím zvolit tu správnou substituci!Nevím jak...Prostě nechápu ten přechod..koukám na zlomek a najednou mě napadne substituce 3x=2t??No,bohužel mě to netrkne...
Tenhle typ příkladu pro mě znamená si říct,co mi to zadání připomíná...a tady kouká $\frac{1}{1+x^{2}}$ Jenže to znamená,pro mě,přijít na to,jak zlomek rozložit tak,aby pak stačilo vytknout tu 4 a bylo to tam...Jenže já mám v testu na jeden příklad 10minut a to tam tohle nebude...:(

Andrejka3

Jak říkám, podíváš se na integrál a vidíš.
Ve jmenovateli něco nadruhou plus něco. Aha, tak to půjde na arctg. Ale musím to dostat na tvar
1/(1+(neco)^2) pak to neco substituuji, atd. Po více příkladech to počítáš rovnou. Víš totiž, že to dopadne takto.
arctg(neco) krát číslo. A to číslo dopočítám zpětným derivováním a porovnáním. Takhle to u substitucí lineárních funguje.

Andrejka3 · 24. 11. 2011 23:33

Netrap se tím, že to teď nevidíš. Počítej a přijde to samo.

LukasM · 25. 11. 2011 11:13 — Editoval LukasM (25. 11. 2011 11:14)

↑ CryWolf:
Já jen doplním.. Pokud je v nějakých vzorových příkladech ta substituce spadlá z nebe, a to ještě ve tvaru $3x=2t$ , tak mi to přijde jako silně nedidaktický postup. Ve skutečnosti stačí abys viděl, že to připomíná derivaci funkce $arctg$ , jak píše ↑ Andrejka3:. Jak jsem pochopil, tak to ty sice vidíš, ale už neumíš vykoukat tu substituci.

Stačí upravovat: $\int \frac{1}{4+9x^2} dx=\int \frac{1}{4\cdot $1+\frac94x^2$}dx$ - protože tam chceme mít 1+něco^2. Ale zatím tam máme jen 1+(něco)*(něco)^2. Takže upravujeme dál.

$\int \frac{1}{4\cdot $1+\frac94x^2$}dx=\frac{1}{4}\int \frac{1}{1+$\frac32 x$^2}dx$ - a jsme tam kde jsme chtěli, 1+(něco)^2. Teď je tedy už vidět jakou substituci zvolit - musíme z toho v té závorce udělat novou integrační proměnnou. A protože ta závorka je lineární v x, znamená to jen přeškálování. Takže $t=\frac32x$ , $dt=\frac32 dx$ . Výsledný integrál je $\frac14\cdot \frac23\int\frac{1}{1+t^2}dt=\frac16 arctg$\frac32x$+C$ .

Takže tu substituci nemusíš "vykoukat", z těchto jednoduchých úprav vyplyne sama. Nejdřív vyrobíš tu jedničku před plusem, a to co ti vyskočí u x^2 pak zlikviduješ substitucí, která ti tu jedničku už neporuší.

Andrejce se omlouvám za možná zbytečný zásah.

CryWolf · 01. 12. 2011 10:30

↑ LukasM:

Měl bych ještě dotaz na integraci $e^{2x}$ Proč se to rovná $\frac{e^{2x}}{2}$ ????

LukasM · 01. 12. 2011 10:31

↑ CryWolf:
Kolik by to mělo dle tebe být?

CryWolf · 01. 12. 2011 10:31

Jiank děkuji za předešlou pomoc,už to není takový problém jako nazačátku!!Díky!!!

CryWolf · 01. 12. 2011 10:33

↑ LukasM:
No,vůbec nevím...na to vzorec nemám,derivovat bych to uměl,ale integrovat ne...netušim..

LukasM · 01. 12. 2011 10:37

↑ CryWolf:
Nevím na co potřebuješ vzorec, když jsi předtím počítal už něco tak složitého jako ten arctg.

Normálně to zintegruj substituční metodou, substituce samozřejmě za 2x. Uvidíš co ti vyjde.

CryWolf · 01. 12. 2011 10:48

↑ LukasM:
Díky.

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2011 22:00

Integrace substituční metodou

#2 24. 11. 2011 22:51 — Editoval Andrejka3 (24. 11. 2011 22:53)

Re: Integrace substituční metodou

#3 24. 11. 2011 23:06

Re: Integrace substituční metodou

#4 24. 11. 2011 23:13

Re: Integrace substituční metodou

#5 24. 11. 2011 23:27

Re: Integrace substituční metodou

#6 24. 11. 2011 23:32 — Editoval Andrejka3 (24. 11. 2011 23:33)

Re: Integrace substituční metodou

#7 24. 11. 2011 23:33

Re: Integrace substituční metodou

#8 25. 11. 2011 11:13 — Editoval LukasM (25. 11. 2011 11:14)

Re: Integrace substituční metodou

#9 01. 12. 2011 10:30

Re: Integrace substituční metodou

#10 01. 12. 2011 10:31

Re: Integrace substituční metodou

#11 01. 12. 2011 10:31

Re: Integrace substituční metodou

#12 01. 12. 2011 10:33

Re: Integrace substituční metodou

#13 01. 12. 2011 10:37

Re: Integrace substituční metodou

#14 01. 12. 2011 10:48

Re: Integrace substituční metodou

Zápatí