Matematické Fórum

patrissa · 28. 11. 2011 22:50

Ahojte, mám vyřešit tento příklad: "Dokažte, že bod X[5.2] leží uvnitř útvaru ohraničeném body A,B,C,D.
A[1,1] , B[10,1] , C[15,10] , D[0,10]." Nakresleno to mám, ale co stím dál už opravdu nevím. Prosím o radu. Děkuji.

Anonymystik · 28. 11. 2011 23:14

↑ patrissa: Ahoj, napadlo mě na to jít třeba takto: pokud polopřímka AX protíná aspoň jednu z úseček BC, CD, pak je X vnitřním bodem čtyřúhelníku. Jak to zjistit? Vyjádříš si průsečíky analyticky dvojic přímek (AX, BC) = P, (AX, CD) = Q a pak zkontroluješ, zda P je současně vnitřním bodem úsečky BC a leží na polopřímce AX, obdobně pro bod Q. Pokud obě podmínky budou vyhovovat současně pro aspoň jeden z bodů P, Q, pak X je vnitřní bod čtyřúhelníku ABCD.

((:-)) · 29. 11. 2011 12:45 — Editoval ((:-)) (29. 11. 2011 12:54)

↑ Anonymystik:

Ahoj - myslím, že aj keby X bol vonku by Tvoja podmienka bola splnená (alebo som niečo zle pochopila).

Nejaké exaktné riešenie neviem asi poskytnúť.

Napadlo mi iba toto:

Zo zadania vyplýva, že útvar ABCD je lichobežník, ktorého základne ležia na priamkach y=10 a y=1.

Keď bodom A vedieme kolmicu k osi x, jej rovnica bude x=1 a keď vedieme kolmicu k osi x cez bod B, jej rovnica bude x = 10.

Potom základne lichobežníka a zostrojené kolmice ohraničujú obdĺžnik (štvorec), ktorého vnútorné body majú súradnicu $x$ z intervalu $(1;10)$ a súradnicu $y$ z intervalu $(1;10)$ .

Celý uvedený obdĺžnik je podmnožinou lichobežníka ABCD.

Bod $X$ so súradnicami $[5;2]$ leží vnútri tohto obdĺžnika a teda "tým skôr" - ako hovorievajú naozajstní matematici - leží aj vo vnútri príslušného lichobežníka...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

standyk · 29. 11. 2011 12:57

↑ patrissa:

Dalo by sa to možno riešiť aj ako sústava 4 nerovníc, ktorej riešením je množina bodov tvoriaca ten lichobeznik.
Konkrétne priamka AB by bola jednou hraničnou priamkou $y=1$ a teda prvá nerovnica $y\geq 1$
Podobne by sme to mohli urobiť pre všetky 4 hraničné priamky a nakonci len overíme či zadaný bod X[5,2] splňuje všetky nerovnice.

Cheop · 29. 11. 2011 13:12 — Editoval Cheop (29. 11. 2011 13:24)

↑ standyk:
A takto by to nemohlo být?
$0\le x \le 10 \wedge 1 \le y \le 10$
bod $[5;\,2]$ - x-ová i y-ová souřadnice splňuje podmínky - bod leží uvnitř útvaru.

PS: Takto ne - špatná úvaha

patrissa

Na přednášce bylo k takovému podobnému příkladu něco s náležitostí bodu a touto rovnicí: ax + by + c = 0. Ale zapísek je bohužel nepřehledný a moc mi nepomohl. A co parametrická rovnice? ale jak to vše dosadit to už nevím.

Anonymystik · 29. 11. 2011 21:14

A co takhle toto: bod X leží uvnitř čytrúhelníku ABCD právě tehdy, když součet obsahů trojúhelníků ABX, BCX CDX, DAX. Obsah čtyřúhelníku bych vyjádřil jako součet obsahů trojúhelníků ABC a CDA.

Rumburak

↑ patrissa:
Ahoj.
Zadaný čtyřúhelník ABCD je konvexní, tudíž je konvexním obalem svých vrcholů.
Konvexní obal bodů A, B, C, D obsahuje právě všechny konvexní kombinace těchto bodů, tj. právě všechny body vyjádřitelné ve tvaru

(1) $aA + bB + cC + dD , a, b, c, d \in [0, 1] \wedge a + b + c + d = 1$ .

Požadovaný důkaz bude hotov, ukážeme-li, že bod X lze vyjádřit ve tvaru (1).

SpecialD

1*1+0*10=1

Takhle to jenom stačí? Dosadit tak aby vyhovoval ten interval?

Rumburak · 01. 12. 2011 17:17

↑ SpecialD:
Netuším, jak jsi k té rovnosti došel a jak souvisí s úlohou.

Postup by měl být takovýto: Pro testovaný bod X sestavíme rovnici

(I) $aA + bB + cC + dD = X$ ,

(neznámé jsou a, b, c, d), k tomu připojíme rovnici

(II) $a + b + c + d = 1$ ,

takže rozepíšeme-li rovnici (I) po souřadnicích , dostaneme celkem soustavu tří rovnic o čtyřech neznámých,
a snažíme se nelézt její řešení, které by splňovalo podmínku $a, b, c, d \in [0, 1]$ . Dokonce stačí hledat takové
řešení, kdy čísla a, b, c, d budou nezáporná, o splnění podmínky " a, b, c, d <= 1" se už postará rovnice (II) .

marnes · 01. 12. 2011 17:28

↑ patrissa:
Takto to jde určitě, ale časově náročné.
Určím obecnou rovnici přímky AB a zjistím, jestli bod X patří do stejné poloroviny jako bod C.
Pak přímka BC a stejná polorovina jako bod D, atd.
Jde o to, že daný čtyřúhelník je průnikem čtyř polorovin

SpecialD · 01. 12. 2011 17:40

Díky pánové za pomoct. Mám v tom absolutní zmatek a moc tomu nerozumím. Musím se tím nějak probrat, abych tomu porozuměl. Ostatně, mám na to ještě jeden den, než to odevzdám :-) Hold, těžké jsou začátky, když je člověk řadu let ze školy :-)

patrissa · 01. 12. 2011 19:38

↑ SpecialD: Ano, přesně tak, když člověk nevidí matiku roky tak potom neumí sečíst ani zlomky :)

patrissa · 01. 12. 2011 19:43

↑ Rumburak: Díky to je přesně ono co po nás chtějí. Ale jak mám dosadit do 1. rovnice ty souřadnice?

Anonymystik · 01. 12. 2011 21:36

↑ Rumburak: Chytrý a elegantní přístup.

Rumburak

↑ patrissa:

Body jsou $A[1,1] , B[10,1] , C[15,10] , D[0,10], X[5, 2]$ , takže rozepsáním rovnice $aA + bB + cC + dD = X$
po souřadnicích dostaneme

$1a + 10b + 15c + 0d = 5$ (z x-ových souřadnic) ,
$1a + 1b + 10c + 10d = 2$ (z y-ových souřadnic) ,

k nim se přidá ta třetí rovnice. Původní geometrická úloha ja tak převedena na úlohu algebraickou.

patrissa · 02. 12. 2011 10:08

↑ Rumburak:Ahaaa, Jak to vypadá najednou jednoduše. Děkuji moc.

Rumburak · 02. 12. 2011 10:20

↑ patrissa:
Ano, matematika je v základních myšlenkách jednoduchá. :-)

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2011 22:50

Bod x ležící uvnitř útvaru

#2 28. 11. 2011 23:14

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#3 29. 11. 2011 12:45 — Editoval ((:-)) (29. 11. 2011 12:54)

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#4 29. 11. 2011 12:57

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#5 29. 11. 2011 13:12 — Editoval Cheop (29. 11. 2011 13:24)

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#6 29. 11. 2011 18:55 — Editoval patrissa (29. 11. 2011 21:13)

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#7 29. 11. 2011 21:14

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#8 01. 12. 2011 15:54 — Editoval Rumburak (01. 12. 2011 15:55)

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#9 01. 12. 2011 16:38 — Editoval SpecialD (01. 12. 2011 16:47)

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#10 01. 12. 2011 17:17

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#11 01. 12. 2011 17:28

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#12 01. 12. 2011 17:40

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#13 01. 12. 2011 19:38

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#14 01. 12. 2011 19:43

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#15 01. 12. 2011 21:36

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#16 02. 12. 2011 09:54 — Editoval Rumburak (02. 12. 2011 21:00)

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#17 02. 12. 2011 10:08

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

#18 02. 12. 2011 10:20

Re: Bod x ležící uvnitř útvaru

Zápatí