Matematické Fórum

mikl3 · 01. 12. 2011 18:22 — Editoval mikl3 (01. 12. 2011 18:51)

Ahoj,
dneska jsem řešil banální příklad, ale nějak jsem se zastavil (učitelka) nad jeho řešením.

zadání
$\sum_{n=1}^{\infty} \sin^2(n-1)x=2 \text{tg} x$

pár prvních členů levé strany
$\sum_{n=1}^{\infty} \sin^2 (n-1)x= \sin^2 0+ \sin^2 x+ \sin^2 2x + \sin^2 3x + \sin ^2 4x + \ldots =0+ \sin^2 x+ \sin^2 2x + \sin^2 3x + \sin ^2 4x + \ldots$

nyní nastává "problém" - z podílu druhého a prvního členu nelze určit $q$
rozdvojka
1)
určím $q$ ze třetího a druhého členu jejich podílem (hypoteticky, napíšu proč později)
$q=\frac{4\sin^2x \cos^2x}{\sin^2x}=4\cos^2 x$

odbočka
pokud budu chtít určit $q$ ze třetího a druhého či čtvrtého a třetího, nevyjde stejné $q$ jako v 1)

pokračujeme pro $q=4\cos^2 x$

$s=\frac{a_1}{1-q}$ teď se vracím k tomu, proč bylo (nebo ne?) v tomhle případě zbytečné určovat $q$

$a_1=0$ tedy $s=0$

dosadím za levou stranu /sumu/ a jedu dál
$0=2\text{tg} x$ $\Rightarrow$ $0=\text{tg} x$ $K=\underline{\cup {k \in Z}} \{k\pi\}$ (prosím o ukázku toho sjednocení množin přes k celé, jestli se někdo takový najde)

to by byl výsledek

učitelka mě ale řekla, že je to nějaké divné, mluvila o tom, že ta $0$ (první člen) nemusí patřit do této řady, že to může být $0+\sum_{n=1}^{\infty} \sin^2 (n-1)x$ (u jiných příkladů klidně) tomuhle ale oponuji, neboť tím neodstraníme $0$ jako prvního člena (to je můj názor), protože když si napíšeme prvních pár členů, nula tam stejně bude

zkoušel jsem vyjadřovat $q$ z jiných členů a neúspěšně (po úpravách se dostaneme asi na goniometrický výraz o délce a4, který nejde lépe upravit)

další nápad (její) byl ten, že v této řadě jsou "vsazeny" 2 řady, jedna o členech sudých a druhá lichých, to jsem již neověřoval, ale wolfram na to má názor takový, že rozumné $q$ nedostaneme, takže tato možnost padá (navíc nevím, jaká funkce je csc)

můj závěr - jestli jsem počítal dobře, tak je problém, aby $q$ z prvních 3 členů, resp. z dalších nevyjde stejně jako z prvních třech

poznámka, která mě napadla teď
pokud budu se sinem pracovat jako sinem a né $0$ čemu se rovná ale, tak
určuji $q$ z prvního a druhého členu
$\frac{\sin^2 2x}{\sin^2 0x}=\frac{\sin^2 (0x+2x)}{\sin^2 0x}=\frac{4\sin^2 (0x) \cos^2(2x)}{\sin^2 0x}=4cos^2x$
jedině takhle to odpovídá, takže umím určit $q$ z prvního druhého a třetího, z dalších ne

wolfram ukazuje součet 0, s tím souhlasím
prosím, aby se na to někdo podíval a řekl mi, jestli se na to koukám ze špatného hlediska a co si o tom myslí, děkuji vám

mikl3 · 01. 12. 2011 18:40 — Editoval mikl3 (01. 12. 2011 18:52)

ještě jedna malá poznámka
nechám $\sum_{n=1}^{\infty} \sin^2 (n-1)x= \sin^2 0x+ \sin^2 x+ \sin^2 2x + \sin^2 3x + \sin ^2 4x + \ldots$

$s=\frac{sin^2 0x}{1-4\cos^2 x}=0$ (říká wolfram, já jsem se nějak zasekl nad důkazem)

takže problém jediný, jak to udělat, aby $q$ vyšlo i z libovolných jiných členů

sakra pořád přepisuju, protože tam jsou chyby

Pavel Brožek

↑ mikl3:

Vždyť to není geometrická řada, nemá vůbec smysl nějaké $q$ počítat.

Edit: Navíc daná řada nebude ani konvergovat (až na nějaké speciální hodnoty x).

mikl3 · 01. 12. 2011 20:41

↑ Pavel Brožek: není? co pak dělá ve sbírce? nebo proč nám ji tedy dává?
takhle, já vím (snad je pravda) že $|q|<1$ pak konverguje
mohl bys mi prosím tedy říct o co jde? já nevím, jestli argument $|q|=|4\cos^2 x|$ má vůbec cenu řešit, protože to $q$ nevychází na dalších členech

prosím o nějaké vysvětlení, samozřejmě, že neovládám tuto látku na vysokoškolské úrovni, probíráme ji s učitelkou, která se tomu moc nevěnuje, dík

Pavel Brožek · 01. 12. 2011 21:00

↑ mikl3:

Seš si jistý zadáním? Podíval jsem se teď do učebnice „Posloupnosti a řady“ z řady „Matematika pro gymnázia“ nakladatelství Prometheus a tam je na straně 117 následující zadání:

Řešte rovnice s neznámou $x\in\mathbf{R}$ :

$\text{b}) \sum_{n=1}^{\infty}\sin^{(2n-2)}x=2\cdot\text{tg}\,x$

To je ovšem něco jiného než píšeš ty. Zápis $\sin^a x$ znamená to samé jako $(\sin x)^a$ .

Alivendes

↑ mikl3:

No protože to na první pohled není geometrická řada, jak se říká ↑ Pavel Brožek:.

A řekl bych, že konvergovat to bude pouze pro násobky $k\pi$ , ale to ať posoudí kolega.

mikl3 · 01. 12. 2011 21:05 — Editoval mikl3 (01. 12. 2011 21:07)

cítím se trochu dotčen ...

Pavel Brožek napsal(a):
↑ mikl3:

Zápis $\sin^a x$ znamená to samé jako $(\sin x)^a$ .

tak špatně na tom nejsem :)

zítra napíšu, jestli si vzpomenu a podívám se na to, řešíme teď maturitní ples a hlava lítá kolem :)

Pavel Brožek · 01. 12. 2011 22:00

↑ mikl3:

Promiň, nějak mi uniklo, že ten zápis ve svém úvodním příspěvku běžně a správně používáš.

mikl3 · 01. 12. 2011 22:06

↑ Pavel Brožek: chápu, díky za konzultaci, já se zítra pokusím to zjistit

pietro · 06. 12. 2011 14:03 — Editoval pietro (06. 12. 2011 14:06)

↑ mikl3: Ahoj, posielam a tam klikni aj na funkciu cosecant

http://www.wolframalpha.com/input/?i=su … ;t=mfftb01

a to je výsledok akosi vzdialený požadovanému. Asi tam bude v zápise .... chybka.

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2011 18:22 — Editoval mikl3 (01. 12. 2011 18:51)

součet nekon. geom. řady

#2 01. 12. 2011 18:40 — Editoval mikl3 (01. 12. 2011 18:52)

Re: součet nekon. geom. řady

#3 01. 12. 2011 20:29 — Editoval Pavel Brožek (01. 12. 2011 20:34)

Re: součet nekon. geom. řady

#4 01. 12. 2011 20:41

Re: součet nekon. geom. řady

#5 01. 12. 2011 21:00

Re: součet nekon. geom. řady

#6 01. 12. 2011 21:03 — Editoval Alivendes (01. 12. 2011 21:05)

Re: součet nekon. geom. řady

#7 01. 12. 2011 21:05 — Editoval mikl3 (01. 12. 2011 21:07)

Re: součet nekon. geom. řady

Pavel Brožek napsal(a):

#8 01. 12. 2011 22:00

Re: součet nekon. geom. řady

#9 01. 12. 2011 22:06

Re: součet nekon. geom. řady

#10 06. 12. 2011 14:03 — Editoval pietro (06. 12. 2011 14:06)

Re: součet nekon. geom. řady

Zápatí