Matematické Fórum

n.i.x.e · 02. 12. 2011 09:42

V trojrozměrném prostoru je dáno $n$ , $n \in \mathbb{N}$ ; $n \geq 3$ , přímek, které jsou po dvojicích různoběžné. Na této množině přímek je definována relace R tak, že přímky p a q jsou v relaci R právě tehdy, když jsou rovnoběžné (splývající přímky považujeme za rovnoběžné). Je relace R ekvivalence? Je relace R částečné uspořádání? Svá tvrzení zdůvodněte!

Muzu dokazat, ze relace je symetricka, reflexivni a tranzitivni.
Ovsem co se tyce antisymetrie, mam mensi nejasnost. Kdyby to byl prostor libovolnych primek, pak relace antisymetricka neni, ale my mame prostor, ve kterem primky jsou po dvojicih ruznobezne => jedine primky, ktere jsou v relaci, jsou splyvajici primky. Pak technicky vzato relace je antisymetricka, jelikoz jakekoliv dve primky (p a q), ktere jsou v relaci, splyvaji => vzdy bude platit, p=q. Ale nevypllyva to z vlastnosti antisymetrie, spise z vlastnosti definovaneho prostoru. Tj. p=q neni primym dusledkem toho, ze pRq a qRp. To me mirne mate.
Kde mam chybu?

kaja.marik · 02. 12. 2011 11:27

Myslim, ze v zadanem prostoru rovnost p=q JE primym dusledkem toho, ze pRq (dokonce ani nepotrebuji qRp).

Co presne myslite tim "nevyplyva to z vlastnosti antisymetrie"? Kdyz antisymetrii teprve dokazujeme/overujeme, tak z ni ani nic vyplyvat nemuze.

n.i.x.e · 02. 12. 2011 11:58

Tim myslim nasledujici:

Antisymetrie: pokud plati pRq A ZAROVEN qRp => p=q, ale ze p=q vime jeste driv, nez overujeme druhou cast predpokladu. Tj. pRq je dostacujici podminka pro p=q.

Asi ciste intuitivne me mate, ze nejsou potreba vsechny predpoklady tady. Chtelo by to (zase ciste intuitivne), abychom meli nejakou situaci, kde jasne vidime, ze neplati-li druhy predpoklad, pak neplati dusledek. Ale ten druhy predpoklad vyplyva(!) z prvniho!

Takze myslite si, ze relaci lze povazovat za antisymetrickou?

petrkovar · 02. 12. 2011 17:04

↑ n.i.x.e:Odpověď má dva aspekty.
Jednak je dobrá si uvědomit, jak vypadá tabulka pravdivostních hodnot implikace. Implikace PLATÍ, i když přepoklad splněn není. Pozor, neříkám, že platí TVRZENÍ, ale IMPLIKACE. Při ověření antisymetrie se ptáme na platnost implikace.

Za druhé: abychom řekli, že relace není antisymetrická, museli bychom najít dvojici přímek, která platnost implikace poruší.

Matematické Fórum

#1 02. 12. 2011 09:42

Antisymetrie relace rovnobeznosti, zadani 3.3.

#2 02. 12. 2011 11:27

Re: Antisymetrie relace rovnobeznosti, zadani 3.3.

#3 02. 12. 2011 11:58

Re: Antisymetrie relace rovnobeznosti, zadani 3.3.

#4 02. 12. 2011 17:04

Re: Antisymetrie relace rovnobeznosti, zadani 3.3.

#5 24. 01. 2012 18:49 Příspěvek uživatele respect byl skryt uživatelem Lukee. Důvod: Spam

Zápatí