Matematické Fórum

↑ Andrejka3:

Detail (asi přepis - anebo to už vůbec nechápu : D ):

Algebra je tedy jednoduchá, pokud má nějakou vlastní kongruenci.

v tom případě snad právě algebra jednoduchá není, ne?

Tak jsem se snažila to nějak srozumitelně sepsat včetně mého důkazu pro konečné prostory.

↑ Pavel Brožek:

omuhle moc nerozumím. Pokud dobře chápu, tak jedna kongruence bude taková, že každý prvek bude kongruentní jen sám se sebou (tady celkem chápu, že se tahle kongruence dá zapsat jako „identita na “). Druhá kongruence bude taková, že každý prvek bude kongruentní s každým. Pokud tahle kongruence má být „identita na “, tak ten zápis „identita na “ nechápu, můžeš ho prosím trochu vysvětlit?

Jistě, ráda. Nešťastně napsané. Myslela jsem relaci, kde všichni jsou kongruentní (ekvivalentní) se všemi, tedy celý kartézský součin nosné množiny se sebou samou, . Musím to editovat tak, aby to nebylo zavádějící.

V tvém důkazu pro konečnou dimenzi nechápu krok 1 (ne, že bych ty další chápal, jen jsem se k nim zatím nedostal :-)). Asi mi není úplně jasné, co dokazuješ.  se snažíš dokázat nebo to z něčeho plyne (nevidím z čeho)? Pak nechápu (Edit: už asi chápu, je to důsledek ), proč by mělo platit , můžeš to prosím rozvést?

Rozvedu to, je to trochu kódované mým kódem, takže to nemusí být úplně srozumitelné, napravím to.
Závorky tam chybí jedny.

Do jisté míry už chápu tvůj důkaz, pro jistotu ho ale ještě trochu rozeberu.

Toto jsem považovala za estetičtější

Tohle mě hodně mátlo (i po tom, co jsem pochopil, jak to myslíš, tak mě to pořád pletlo) :-). Mnohem pochopitelnější by pro mě bylo napsat . Tam každé a odpovídá jedné elementární úpravě, která je evidentní. Jakmile si každou úpravu ověřím, už jen koukám na levý a pravý konec zápisu.

Píšeš, že jednodimenzionální podprostory generují celý prostor. Už ale nedodáváš, že pokud , pak i a a díky tomu máme ekvivalenci na všech podprostorech. Asi ti to přijde zřejmé (já vím, je to jednoduché dokázat) a proto to nezmiňuješ, ale mě třeba podobné nevyslovené věci komplikují pochopení. (Zvlášť když se v tomhle oboru matematiky nepohybuji často a spousta věcí je pro mě nových.) :-)

V kroku 4 – co když . Pak bychom nemohli použít krok 3. Měli bychom tedy říct, že buď nebo (jinak by byl spor s ) a pak se podle toho zařídit.

Teď už se snad budu moct zaměřit na vymýšlení důkazu pro nekonečnědimenzionální prostory. :-)

Ať vidím, jestli má smysl pokračovat, tak sem napíšu, co zatím mám:

Předpokládejme, že , jsou podprostory . Dále předpokládejme, že



(což je ekvivalentní tomu, že U a W nejsou jeden podprostorem druhého). Je zřejmé, že jsou lineárně nezávislé vektory. Platí

,

máme tedy dva kongruentní jednorozměrné různé podprostory V. Dále platí



Stačí už jen použít tvůj krok 1, abychom zjistili, že každý jednodimenzionální podprostor V je kongruentní 0.

Samozřejmě to není dokončené a neřeším vůbec případ, že U a W bude jeden podprostorem druhého, ale je zatím to, co jsem napsal, správně?

Dělal jsem to zbytečně složitě. Znovu:

Předpokládejme, že , jsou podprostory . Existuje tedy vektor , který patří jen do jednoho z prostorů a . Bez újmy na obecnosti nechť , . Pak



Teď stačí použít krok 1. Víme tedy, že všechny konečnědimenzionální podprostory jsou kongruentní.

Já už jdu spát, ale tipnul bych si, že bude problém dokázat, že bude každý řetězec shora omezený.

↑ Pavel Brožek:

Omezenost řetězců shora je "zadarmo", ne? Koneckonců, je to uspořádání inkluzí a všechny podprostory mají jako horní závoru celý prostor.

↑ Andrejka3:

Pravda, uvažuju špatně.

↑ Pavel Brožek:
Tomu nerozumím. Nevím, co je levá strana v .
Co když existuje kongruence taková, že v jedné třídě ekvivalence jsou dva nekonečnědimenzionální podprostory, jejichž průnik je opět nekonečnědimenzionální? A třeba třídy ekvivalence takové kongruence jsou jednoprvkové pro všechny konečnědimenzionální podprostory?

↑ Andrejka3:

a jsou podprostory . Písmenem teď nemyslím algebru nebo něco jiného. Má tedy smysl psát . Z definice kongruence a předpokladu, že je konečnědimenzionální (tj. , jak jsme ukázali dříve), plyne .

Pavel Brožek napsal(a):

Píšeš, že jednodimenzionální podprostory generují celý prostor. Už ale nedodáváš, že pokud , pak i a a díky tomu máme ekvivalenci na všech podprostorech.

Omlouvám se za vracení k takto starým věcem, ale tuto větu jsem nepochopil. "Máme ekvivalenci na všech podprostorech" má znamenat, že už jsou všechny ekvivalentní?


Jinak mám už od včerejšího večera strašný pocit, že



by měla být vlastní kongruence na nekonečnědimenzionálním prostoru, jen to nemám úplně doladěné.


EDIT: Jejda, teď jsem si všiml, že kolega BrozekP nastínil tu samou myšlenku.