Matematické Fórum

seapig · 03. 12. 2011 16:59

Zdravim,

vedel by mi niekto poradit za akých predpokladov možno násobiť dva nekonečné rady?

Dakujem za pomoc

OiBobik

↑ seapig:

Ahoj,

třeba tady, oddíl 8.3, věty 8.6,8.7 dávají dvě postačující podmínky (chápu-li dobře, co jsi myslela).

seapig · 03. 12. 2011 17:26

↑ OiBobik:
a tieto podmienky platia len pre cauchyho sucin radov? alebo vseobecne? ... ja potrebujem prave tu vseobecnu podmienku. Je to ona?

OiBobik · 03. 12. 2011 17:58

↑ seapig:

Aha, jestli myslíš součin řad jako zobecněnou řadu, na to je, myslím, zapotřebí absolutní konvergence obou řad. (ale radši si to nech ještě někým potvrdit)

seapig · 03. 12. 2011 18:04

↑ OiBobik:
no nikde som to nenasla definovane pre vseobecny pripad... konvergencia radov mi pride ako najrozumnejsie riesenie..len neviem ci, musia byt absolutne konergentne alebo postaci aj relativna konvergencia...

OiBobik

↑ seapig:

Jak máte definovaný součin řad? jako dvojnou řadu (tj. jako spec. případ zobecněné řady)?

Zkusím najít příklad, kdy neabsolutní konvergence řad nestačí.

seapig · 03. 12. 2011 18:46

↑ OiBobik:Ano, ako dvojnu radu.. ale asi by stacili aj podmienky pre zobecnenu radu..

seapig · 04. 12. 2011 14:03

↑ OiBobik:↑ seapig:
no este som to riesila a nakoniec som nasla nieco taketo:
Ak rady $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ , $\sum_{n=0}^{\infty}b_n$ , konvergujú, pričom aspoň jeden z nich absolútne, potom súčin týchto radov konverguje.
Pokiaľ by boli tieto rady iba relatívne konergentné, výsledný súčin by stále mohol aj divergovať.

To by mohlo byť ono, nie? :)

OiBobik

↑ seapig:

To si myslím, že nestačí. Resp. to odpovídá jedné z těch vět o Cauchyově součinu, jak jsem odkazoval výše. Zkusím naznačit, proč si myslím, že to není postačující.
(Zdůrazňuji však, že záleží na definici součinu řad - já budu vycházet z toho, že součin řad je zobecněná řada, kde množina indexů je množina všech uspořádaných dvojic přirozenýh čísel. Budu tedy požadovat, aby součin konvergoval pro libovolné přerovnání členů, navíc se stejným součtem.)

Nechť $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ je abs. konvergentní řada a $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ konverguje pouze neabsolutně. Pro spor předpokládejme, že dvojná řada $\sum_{n,m=1}^{\infty}a_n b_m$ má součet, což dle definice znamená, že kdykoli $\sigma_1,\sigma_2: \mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$ jsou dvě bijekce, pak označíme-li $c_{\sigma_1(n,m)}=a_nb_m$ a $d_{\sigma_2(n,m)}=a_nb_m$ , pak $\sum_{n=1}^{\infty}c_n=\sum_{n=1}^{\infty}d_n$ (toto značení budeme dále používat). Neboli libovolná dvě lineární uspořádání členů součinu konvergují se stejným součtem. Označme tentou součet $S$ .

Označme $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=A$ a $\sum_{n=1}^{\infty}b_n=B$ . Dle věty 8.6 z materiálu výše Cauchyův součin řad konverguje k číslu $A\cdot B$ . Lze nahlédnout, že Cauchyůuv součin řad není nic jinéhio, než jedno specifické uspořádání členů zobecněné řady ("po vedlejších diagonálách") a následné uzávorkování - pokud ale uvážíme stejné uspořádání (ozn. jej $\sigma_1$ ) bez následného uzávorkování, z předpokladu, že dvojná řada konverguje a z faktu, že Cauchyův součin je uzávorkováním tohoto přerovnání (tedy vybraná podposloupnost posloupnosti částečných součtů přerovnání řady) dostáváme, že
$S=\sum_{n=1}^{\infty}c_n=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^na_{n+1-k}b_k=AB$ .

Na druhou stranu, $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ konverguje pouze neabsolutně, tedy dle Riemannovy věty (stejný materiál, věta 8.5) lze řadu přerovnat tak, že bude konvergovat k libovolnému součtu, dejme tomu k číslu $2B$ , pokud $B\neq0$ , k číslu $1$ jinak - označme tuto hodnotu $C$ (tedy jistě $C\neq B$ ) a bijekci příslušného přerovnání řady $\pi$ . Analogicky jako výše označme $\sigma_2$ uspořádání řady $\sum_{n=1}^{\infty}b_{\pi(n)}$ "po vedlejších diagonálách" - tedy tak, jak je tomu v Cauchyově součinu řady $\sum_{n=1}^{\infty}b_{\pi(n)}$ před uzávorkováním. Analogicky jako výše dostáváme $S=\sum_{n=1}^{\infty}d_n=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^na_{\pi(n+1-k)}b_{\pi(k)}=AC$ , tedy $AB=AC$ , z čehož již plyne, že $A=0$ . V jiných případech docházíme ke sporu.

Pozn: domnívám se, že půjde ukázat, že i v případě, kdy $A=0$ , nebude součin definován (za nějakých přirozených dodatečných podmínek, jako je, že $a_n$ není nulová posloupnost apod.) (k tomu zřejmě stačí najít nějaký nenulový součet přerovnání součinu řad, neboť nulový se najde snadno uspořádáním $(1,1),(2,1),(2,2),(1,2),(3,1),(3,2),(3,3),(2,3),(1,3), \dots$ ) za předpokladu konvergence. Podívám se na to, až zase budu mít chvilku čas.