Matematické Fórum

repu · 01. 12. 2011 19:19

Ahoj, mam problem s timto prikladem. Mohl by mi nekdo pomoct?

Naleznete matici linearniho zobrazeni $A : P_{3} -> \mathbb{R}^{3}$ dane predpisem $A(ax^{2}+bx+c) = (a+b+c, 2a+b, 2a)$ vzhledem ke standardni bazi $F = (1,x,x^{2})$ prostoru $P_{3}$ a standardni bazi S = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) prostoru $\mathbb{R}^{3}$ . S vyuzitim matice linearniho zobrazeni urcete obrazy polynomů $p(x) = 3x^{2}+2x+1$ $q(x) = 5^{2}+7$

Urcil jsem matici:

1 1 1
0 1 2
0 0 2

Nyní abych dopocital obrazy polynomu udalal jsem nasledujici matici:

1 1 1 | 1 7
0 1 2 | 2 0
0 0 2 | 3 5

z toho urcim ze pro p(x) je x3 = 3/2, x2 = -1, x1 = 1/2
a pro q(x) je x3 = 5/2, x2 = -5, x1 = 9/2

Ale nevim co dal :( mohl by mi nekdo poradit?

Andrejka3 · 01. 12. 2011 21:37

Obrazy polynomů spočítáš takto: vektorem souřadnic v obvyklé bazi vynásobíš matici zobrazení zprava a dostaneš tak souřadnice jejich obrazů v kanonické bazi.

repu · 01. 12. 2011 21:57

Vubec jsem to nepochopil :( mohl bys mi to objasnit trosku vice?

Andrejka3

$A : P_{3} -> \mathbb{R}^{3}$ je vzhledem k bazi $F = (1,x,x^{2})$ a kanonické bázi v prostoru obrazů reprezentováno maticí
$A=$ 1 1 1
0 1 2
0 0 2
každý vektor $p$ prostoru $P_{3}$ lze vyjádřit jako lineární kombinace prvků baze, tj.
$p = \alpha \cdot 1 + \beta \cdot x + \gamma \cdot x^2 = (1,x,x^2) \cdot (\alpha,\beta,\gamma)$ , kde posledni rovnost je myslena formalne jako maticove nasobeni radkoveho vektoru se sloupcovym a recka cisla jsou souradnice vektoru $p$ vuci bazi $F$ .
Diky linearite zobrazeni je obraz vektoru $p$ roven
$A(p) = A(\alpha \cdot 1 + \beta \cdot x + \gamma \cdot x^2) = \alpha \cdot A(1) + \beta \cdot A(x) + \gamma \cdot A(x^2)$ . (-1-)
Obrazy prvku baze $F$ jsou vektory prostoru $\mathbb{R}^{3}$ a daji se tedy vyjadrit jako linearni kombinace vektoru baze $E = \{e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)\}$ .
Oznacme souradnice takto $A(1) = a_{11}(1,0,0) + a_{21}(0,1,0) + a_{31}(0,0,1)$ a
$A(x) = a_{12}(1,0,0) + a_{22}(0,1,0) + a_{32}(0,0,1)$
$A(x^2) = a_{13}(1,0,0) + a_{23}(0,1,0) + a_{33}(0,0,1)$ .
Dosazenim do (-1-) dostaneme
$A(p) = \alpha \cdot (a_{11}(1,0,0) + a_{21}(0,1,0) + a_{31}(0,0,1)) + \beta \cdot (a_{12}(1,0,0) + a_{22}(0,1,0) + a_{32}(0,0,1)) +$
$+ \gamma \cdot (a_{13}(1,0,0) + a_{23}(0,1,0) + a_{33}(0,0,1))=$
$=(e_1,e_2,e_3) A \cdot (\alpha,\beta,\gamma)$ .

Zkracene:
Souradnice vektoru $p$ v bazi $E$ jsou
A.(1,2,3) . Vpravo je sloupcovy vektor.

Edit: oprava zavorek - chybely

Andrejka3 · 01. 12. 2011 23:05

1 1 1 1 1 2 3 6
0 1 2 kraat 2 = 0 + 2 + 6 = 8
0 0 2 3 0 0 6 6

HellBoyCz · 03. 12. 2011 17:57

Ahoj k te matici jsi prisel takhle?

F=(1,x,x2) = (1,1,1) podle mocnin = (c,b,a) a pak dosadim do predpisu (a+b+c,2a+b,2a) což dostanu souřadnice 3 vektoru? nebo bazi?

((1,1,1);(0,1,2);(0,0,2))

Dekuji

Andrejka3 · 03. 12. 2011 18:00

Ano. :)
Dostaneš souřadnice vektoru vzhledem ke standardní bazi S. Bohužel jsem myslím v průběhu textu někde přeznačila S na E.

Andrejka3 · 03. 12. 2011 18:03

↑ HellBoyCz:
Vidíš, že obraz vektoru 1, jenž se zapíše v souřadnicích vlči bazi F jako (1,0,0) (zde a=b=0, c=1), je vektor (1,0,0)
Obraz vektoru x,... jako (c=0,b=1,a=0) je (1,1,0).
Obraz x^2 ... (c=0,b=0,a=1) je (1,2,2)

HellBoyCz · 03. 12. 2011 18:55

Andrejka3 napsal(a):
↑ HellBoyCz:
Vidíš, že obraz vektoru 1, jenž se zapíše v souřadnicích vlči bazi F jako (1,0,0) (zde a=b=0, c=1), je vektor (1,0,0)
Obraz vektoru x,... jako (c=0,b=1,a=0) je (1,1,0).
Obraz x^2 ... (c=0,b=0,a=1) je (1,2,2)

Tak ztohohle jsem jelen :D

Andrejka3

Ach jo. Tak jsem převrátila pořadí prvků baze a místo vůči jsem napsala vlči.
Edit: omlouvám se. Zároveň si myslím, že by mělo být z předchozího jasné, co se tím myslí. Vždyť jsem se to tam snažila psát podrobně.

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2011 19:19

Linearni zobrazeni

#2 01. 12. 2011 21:37

Re: Linearni zobrazeni

#3 01. 12. 2011 21:57

Re: Linearni zobrazeni

#4 01. 12. 2011 22:48 — Editoval Andrejka3 (01. 12. 2011 22:53)

Re: Linearni zobrazeni

#5 01. 12. 2011 23:05

Re: Linearni zobrazeni

#6 03. 12. 2011 17:57

Re: Linearni zobrazeni

#7 03. 12. 2011 18:00

Re: Linearni zobrazeni

#8 03. 12. 2011 18:03

Re: Linearni zobrazeni

#9 03. 12. 2011 18:55

Re: Linearni zobrazeni

Andrejka3 napsal(a):

#10 03. 12. 2011 19:04 — Editoval Andrejka3 (03. 12. 2011 19:36)

Re: Linearni zobrazeni

Zápatí