Matematické Fórum

martinm7 · 24. 08. 2008 12:47

Zdravím všechny!

Mohl by mě prosím někdo navést na řešení této limity posloupnosti?

${\lim}\limits_{n \to \infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-1}\right)$

Prvním výpočtem mi vyšlo $\infty$ , přičem v Mathematice jsem provedl kontrolu a vím, že příklad by měl vyjít 1/2.

Mám tedy za to, že 1/2 vyjde z mocniny, pod kterou jsou jednotlivé členy posloupnosti, ale nevím, jak ji z toho příkladu dostat...

Tuším správně, že cesta by mohla jít převedením na $E^{\frac{1}{2}\text{Log}[\text{...}]}$ (možná zbytečně komplikované), nebo vhodným rozšířením?

Mohl by mě někdo navést na postup, jak na to? Vím, že to není zvláš? složité, spíše mi chybí nějaká elementární znalost (nebo praxe), podle které bych posloupnost vyřešil...

Děkuji předem!

jelena · 24. 08. 2008 13:36

Naznačím jen úpravu - rozšíření výrazem, jak uvádím:

$sqrt{n}\left(\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-1}\right)\cdot{\frac{\left(\sqrt{4n+1}+\sqrt{4n-1}\right)}{\left(\sqrt{4n+1}+\sqrt{4n-1}\right)$

$sqrt{n}{\frac{4n+1-4n+1}{\left(\sqrt{4n+1}+\sqrt{4n-1}\right)$

$sqrt{n}{\frac{2}{\left(\sqrt{4n+1}+\sqrt{4n-1}\right)$

$sqrt{n}{\frac{2}{sqrt{n}\left(\sqrt{4+\frac1n}+\sqrt{4-\frac1n}\right)$

OK?

martinm7 · 24. 08. 2008 14:30

↑ jelena:

Vidím vše! Děkuji!

Bohužel jsem na Střední škole nějaké věci prospal, a ono to do mozku neleze samo... myslím, že teď už to uvidím i v dalších případech.

Hezký den!

-----

Pokud by to někomu dalšímu pomohlo, zde je uprava provedená mezi 3. a 4. krokem:
$\sqrt{4n+1}+\sqrt{4n-1}=\sqrt{n\left(4+\frac{1}{n}\right)}+\sqrt{n\left(4-\frac{1}{n}\right)}=\sqrt{n}\sqrt{4+\frac{1}{n}}+\sqrt{n}\sqrt{4-\frac{1}{n}}=\sqrt{n}\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}+\sqrt{4-\frac{1}{n}}\right)$

Matematické Fórum

#1 24. 08. 2008 12:47

Limita posloupnosti

#2 24. 08. 2008 13:36

Re: Limita posloupnosti

#3 24. 08. 2008 14:30

Re: Limita posloupnosti

Zápatí