Matematické Fórum

jpa · 14. 11. 2011 16:27 — Editoval jpa (14. 11. 2011 16:36)

Přeji pěkný den, rád bych se vás zeptal, zdali by mi někdo pomohl s těmito příklady,
nějak si s nima nemohu poradit. Moc vám děkuji .

Příklad číslo 1 jsem skoro vypočítal, nicméně nevím jak dopočítat jádro .

2 -1 1 | 0 a1=-p
0 6 6 | 0 a2=-p
0 0 0 | 0 a3= p

Vysledná rovnice: -tA(-1,-1,0)-tA(1,1,1)+tA(-1,1,1)=(0,0,0)

A(-t(1,-1,0)-t(1,1,1)+t(-1,1,1)) = (0,0,0) // nevím ják dále

N(A) = ?

Obor hodnot:

2 2 -1
0 4 -3
0 0 0

H(A) = <(2,2-1),(0,4,-3)>

Rumburak · 14. 11. 2011 16:43

↑ jpa:
Zkusil bych nejprve určit matici toho zobrazení, pak by to mělo být průhlednější.

jpa · 20. 11. 2011 00:12

↑ vanok:

Mezi prvním 1 a 7 řádkem jsem předpisy vektorů převedl s řádků do sloupce matice ,kterou jsem s pomocí gaussovy metody dopočítal soustavu, kterou bych měl dosadit do té věty ...

Podle vašeho postupu jsem spočítal pomoci gaussovy-metody tu rozsirenou matici, ale x3 mi vychází 0 ...

Nějak jsem se do toho zamotal a asi to bude tím že tomu moc nerozumím.

Poradili by jste mi kdyžtak i s 8. a 9. příkladem ?

Děkuji .

vanok · 20. 11. 2011 00:33

↑ jpa:,
Ale ten 7 si dokoncil?

Na 8 treba dokazat (alebo vyvratit) ze A(p+q)=A(p)+A(q) a A(kp)=kA(p) kde p,q su v P3.

jpa · 20. 11. 2011 00:35

↑ vanok:

7.příklad jsem zatím ještě nedořešil ...

vanok · 20. 11. 2011 00:49

↑ jpa:,
Zajtra to pozreme.
Dobru noc

jpa · 21. 11. 2011 21:31 — Editoval jpa (21. 11. 2011 21:31)

↑ vanok:

Pěkný večer, jakpak by jste to viděl ? Tu první část, kdy dám vektory z předpisu do sloupce matice a vypočítám gauss.metodou je podle příkladu který jsme dělali ve škole správný, ale pak si nemůžu dále pomoct co dál ...

vanok · 21. 11. 2011 22:44 — Editoval vanok (21. 11. 2011 23:46)

↑ jpa:,
Tu ti dam riesenie prikladu 7, ako sme sa vcera dohodli(tie casti riesenia co si mal dokoncit som vymazal)
Zacnime obrazom applikacie:
Ten je generovany vektormy (2,2,-1), (-1,1,-1), (1,3,-2)

Vytvorme maticu ktorej riadku su generatory obrazu (obor hodnot)
2,2,-1
-1,1,-1
1,3,-2
A redukujme ju na trojuhornikovu formu
1,3-2
-1,1,-1
2,2,-1

1,3,-2
0,4,-3
0,-4,3

1,3,-2
0,4,-3
0,0,0

Toto nam ukazuje ze ((1,3,-2),(0,4,-3)) je jedna baza obrazu, ktory je tak dimenzie 2

vanok · 21. 11. 2011 23:09

↑ vanok:,
Tu ukazeme ako urcit jadro lin. appl. A priklad 7
Hladajme (x,y,z) take ze obraz A(x(1,-1,0)+y(1,1,1) +z(-1,1,1) )=x(2,2,1)+y(-1,1,-1)+z(1,3,-2)=(0,0,0)

Ostava vyriesit system
2x- y+ z=0
2x+y+3z=0
-x-y-2z=0

Ktory sa da riesit maticovou metodou
2,-1,1, 0
2,1,3, 0
-1,-1,-2,0

1,1,2,0
2,-1,1,0
2,1,3,0

1,1,2,0
0,-3,-3,0
0,-1,-1,0

1,1,2,0
0,1,1,0
0,0,0,0

Toto nam da y=-z a x=-y-2z=-z; co znamena ze ((1,1,-1)) je jedna baza jadra, ktore ma dimenziu 1.

jpa · 22. 11. 2011 15:20 — Editoval jpa (22. 11. 2011 15:29)

↑ vanok:

Moc děkuji, jak se tak dívám tak ono je to víceméně o dosazení do matice a řešení pomocí gaussovy metody, ale musím si uvědomit co zrovna počítat, mohl bych kdyžtak ještě poprosit o postup nebo řešení 8 a 9 ? Děkuji .

vanok · 22. 11. 2011 18:58

Ahoj ↑ jpa:,
Najpv napis vsetko co si uz urobil na to cvicenie 8.

jpa · 02. 12. 2011 11:20

Nemohu přijít na zpusob jak to udělal i když jsem si prohlédl všechny zápisky ze školy.

Psal jsi že dokázat nebo vyvrátit ... , A(p) je dané, jak zjistím A(q) ? Děkuji .

Rumburak · 02. 12. 2011 11:50

↑ jpa:

Najdi si definici, která určuje, za jakých podmínek považujeme zobrazení vekt. prostoru X do vekt. prostoru Y za lineární
a pak zkus otestovat, zda "Tvoje" zobrazení A příslušné podmínky z oné definice splňuje či ne.

Pokud Ti to ještě není jasné, tak sem tu definici opiš a můžeme s ní pracovat.

jpa · 02. 12. 2011 14:17 — Editoval jpa (02. 12. 2011 15:12)

↑ Rumburak:

Příklad číslo 8 :

věta1: A(u,v) = A(u) + A(v)
věta2: A( $\alpha$ u) = $\alpha$ A(u)

A(p)=(c,2a+b,2a)

u=ax^2+bx+c
v=dx^2+ex+f

1.
A(u,v)=(ax^2+bx+x;dx^2+ex+f)=((a+d)x^2+(b+e)x+(c+f))=
(c+f),2(a+d)+(b+e),2(a+d)=c+f,(2a+b)+(2d+e),2a+2d=
[c,2a+b,2a]+[f,2d+e,2d]=A(u)+A(v)

2.
A( $\alpha$ u)=( $\alpha$ (ax^2+bx+c))=( $\alpha$ ax^2+ $\alpha$ bx+ $\alpha$ c)=
[ $\alpha$ c,2 $\alpha$ a+ $\alpha$ b,2 $\alpha$ a]= $\alpha$ (c), $\alpha$ (2a+b), $\alpha$ (2a)]=
$\alpha$ [c,2a+b,2a= $\alpha$ A(u)]

Obě dvě podmínky platí tudíž je zobrazení lineární.

Rumburak

↑ jpa:
Já v tom definici nevidím. Čekal jsem, že napíšeš

"Zobzaení A vekt. prostoru X do vekt. prostoru Y je lineární, právě když ... . "

Místo těch tří teček bychom měli doplnit

(1) A(u+v) = A(u) + A(v) pro livovolné vekrory u, v patřící do X ,
(2) A(t u) = t A(u) pro livovolné u patřící do X a libobolné t patřící do R.

Jedním ze základů matematického myšlení je cit pro formu - odhaduji, že zde možná bude u Tebe problém - nic ve zlém. :-)

Takže - řešíme-li úlohu 8:
Máme jisté zobrazení $A$ definované v $X = P_3$ s hodnotami v $Y = \mathbb{R}^3$ , což jsou jisté vektotové prostory. Naším úkolem je rozhodnout,
zda toto zobrazení je lineární. Jde tedy o to ověřit, zda je pro toto zobrazení $A$ splněn každý z výroků (1) a (2) .

Zkoumejme nejprve platnost výroku (2) - což mi připadá o něco lehčí než u výroku (1) , i ktyž ani to není těžké, pokud porozumíme, o co jde.

Ověření platnosti výroku (2) se technicky provádí tak, že "zvolíme" abstraktní prvky $t \in \mathbb{R}, \vec{u} \in X$ a pomocí toho, co víme o těchto prvcích,
o prostorech $X, Y$ a o zobrazení $A$ , se pokusíme dokázat platnost výroku (2).

O reálném čísle $t$ se toho více říci nedá, o $\vec{u}$ víme, že je to polynom tvaru $\vec{u}(x) = ax^2 + bx + c$ , kde $a, b, c$ jsou nějaká reálná čísla.
Dále budeme potřebovat informaci o tom , jak je v $X$ definováno násobení vektoru (speciálně polynomu uvedeného tvaru) skalárem (tedy reálným číslem):
je to velmi prosté a téměř samozřejmé: pro výše uvedený vektor $\vec{u}$ bude vektorem $t \vec{u}$ polynom

$t \vec{u}(x) = t(ax^2 + bx + c) = tax^2 + tbx + tc$ .

Nyní je potřeba se podívat na definici našeho zobrezení $A$ . Vzorec, který ho definuje říká, že obrazem našeho vektoru $\vec{u}$ , tj. polynomu $\vec{u}(x) = ax^2 + bx + c$ ,
bude vektor $A(\vec{u}) = (c, 2a+b, 2a) \in \mathbb{R}^3$ . V rovnici (2) ale budeme potřebovat také vektor $A(t \vec{u})$ . Který vektor to bude ?

Zkus mne doplnit.

EDIT. Napsat to nešlo moc rychle a tys byl rychlejší, ale tím lépe, že ses nebál jít do toho samostatně.

jpa · 02. 12. 2011 16:22

↑ Rumburak:

Děkují vám za podrobný a vyčerpávající postup :) . Měl by to být vektor tA(u) . Zdali to tedy chápu tak to mám vyřešeno správně. No ještě mi zbývá poslední příklad, a ten bude asi trochu horší :)

Rumburak

↑ jpa:
Na otázku, co bude vektor $A(t \vec{u})$ , jsem očekával odpověď $A(t\vec{u}) = (tc, 2ta+tb, 2ta)$ .
Že zároveň platí $(tc, 2ta+tb, 2ta) = t(c, 2a+b, 2a) = tA(\vec{u})$ , to je až další krok našeho důkazu.

Postup v ↑ jpa: je dobře až na to, že v bodě 1 má být místo A(u,v) správně A(u + v) atd. , asi jde jen o překlep.

K té úloze 9:

Její první část není těžší než č. 8 - opět jde jen o to zkontrolovat, zda jsou splněny výroky, na nichž je postavena
jistá definice - tentokrát jde o definici bilineární formy . Pouze toho bude k ověřování více.

Druhá část úlohy je už obtížnější - bude vyžadovat širší a důkladnější prostudovaní příslušné teorie.

jpa · 02. 12. 2011 17:19 — Editoval jpa (02. 12. 2011 17:20)

↑ Rumburak:

Budu muset v první části ověřit všechny 4 podmíny nebo stačí jen určité ? ...

Rumburak · 02. 12. 2011 20:53

↑ jpa:

B(x,y) (o dvou proměnných) je bilineární forma na prostoru W , právě když pro libovolné pevně zvolené w patřící do W platí, že

(1) každá z funkcí f(x) := B(x, w) , g(x) := B(w, y) je lineární forma na prostoru W.

To jeobvyklá definice bilineární formy. Při tom lineární forma na vektorovém prostoru W je lineární zobrazení prostoru W do jeho telesa
(v našem případě půjde o těleso R), co je to lineární zobrazení, už jsme probírali, lin. forma je případ LZ při speciální volbě "cílového"
vektrového prostoru (komutatvní těleso je zároveň vektorovým prostorem nad sebou samým).

Odtud vyplývá, že musíme ověřit platnost výroku (1)

jpa · 03. 12. 2011 09:52

↑ Rumburak:

B(p,q) = p(1)q(1)

1) p = m+n;m,n $\in$ P3

B(m+n,q): B((m+n)p,q(x))=(m+n)1q(1)=m1q(1)+n1(q1)=
B(m(x),(q(x))

2) q = m+n;m,n $\in$ P3

B(p,m+n): B(p(x),(m+n)x) = p(1)(m+n)(1) = (p(1)m(1) + p(1)n(1) =
B(p(x), m(x)) + B(p(x),n(x))

3) p,q $\in$ P3; t $\in$ R

B(tp,q): B((tp)(x),q(x))= tp(1)q(1) = t(p(1)q(1)) = tB(p(x),q(x))

4) p,q $\in$ P3; t $\in$ R

B(p,tq): B(p(x),(tq)(x))= p(1)tq(1) = t(p(1)q(1)) = tB(p(x),q(x))

$\Rightarrow$ Zobrazení je bilineární, jelikož podmínky platí .

Doufám, že to mám tedy správně :) ... Na tu další část už si sám nevěřím .

Rumburak · 05. 12. 2011 11:05

↑ jpa:

V zásadě je to dobře , až na formální nedostatky v bodě 1) . Mělo být

B(m+n,q) =(m+n)(1)q(1)=m(1)q(1)+n(1)q(1)= B(m,q) + B(n, q) .

Mohli jsme využít skutečnosti, že ta funkce B je symetrická, tj. že splňuje identitu B(p, q) = B(q, p).
Máme-li dokázáno např. 1 a 3 , potom ze symetrie plyne ihned 2, 4 .

K dokončení první části úlohy je potřeba především si uvědomit si, co je to standardní báze v P3 . Obvykle je tím míněna báze $(x^2 , x , 1)$ ,
eventuálně v opačném uspořádání.
Dále si uvědomíme, že P3 je isomorfní s R^3, Isomorfismem je zde např. zobrezení F , které polynomu $ax^2 + bx + c$ přiřadí vektor (a, b, c),
tento isomorfismus prostoru P3 na R^3 považujeme za standardní.
Standardní báze $(x^2 , x , 1)$ prostoru P3 se tímto isomorfismem zobrazí na ((1, 0, 0), (0, 1, 0) , (0 , 0, 1)) , což je standardní báze prostoru R^3.
Prostřednictvím isomorfismu F pak bilineární formě B na prostoru P3 odpovídá jistá bilineární forma B* na prostoru R^3. Matici M bilineární formy B*
vzhledem k bázi ((1, 0, 0), (0, 1, 0) , (0 , 0, 1)) pak můžeme považovat za matici bilineární formy B vzhledem k bázi $(x^2 , x , 1)$ .

Zmáněná matice M je též maticí kvadratické formy Q(p) = B(p, p). K nalezení kanonického tvaru kvadratické formy je potřeba zjistit významový obsah
tohoto pojmu podle příslušné definice. Já si to teď nevybavuji a vhodnou literaturu k tomu nemám.

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2011 16:27 — Editoval jpa (14. 11. 2011 16:36)

Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#2 14. 11. 2011 16:43

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#3 14. 11. 2011 17:04 — Editoval jpa (14. 11. 2011 17:06) Příspěvek uživatele jpa byl skryt uživatelem jpa.

#4 20. 11. 2011 00:12

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#5 20. 11. 2011 00:33

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#6 20. 11. 2011 00:35

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#7 20. 11. 2011 00:49

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#8 21. 11. 2011 21:31 — Editoval jpa (21. 11. 2011 21:31)

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#9 21. 11. 2011 22:44 — Editoval vanok (21. 11. 2011 23:46)

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#10 21. 11. 2011 23:09

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#11 22. 11. 2011 15:20 — Editoval jpa (22. 11. 2011 15:29)

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#12 22. 11. 2011 18:58

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#13 02. 12. 2011 11:20

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#14 02. 12. 2011 11:50

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#15 02. 12. 2011 14:17 — Editoval jpa (02. 12. 2011 15:12)

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#16 02. 12. 2011 15:44 — Editoval Rumburak (02. 12. 2011 15:49)

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#17 02. 12. 2011 16:22

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#18 02. 12. 2011 17:02 — Editoval Rumburak (09. 12. 2011 14:32)

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#19 02. 12. 2011 17:19 — Editoval jpa (02. 12. 2011 17:20)

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#20 02. 12. 2011 20:53

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#21 03. 12. 2011 09:52

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

#22 05. 12. 2011 11:05

Re: Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, bilineární forma .

Zápatí