Matematické Fórum

matoxy · 30. 10. 2007 12:28 — Editoval matoxy (30. 10. 2007 12:31)

$6^x=(0,25)^x^2$ ako to má upravi?? Ja som to dokázal upravi? len na $6=(0,25)^x$ a z toho vyjadri? x pomocou logaritmu, no dá sa to aj nejako jednoduchšie myslím.

Marian · 30. 10. 2007 13:56

Podle toho, co jsem se dival, jakym zpusoem si v TeXu zapisoval tvou rovnici, tak bych rekl, ze mela vypadat trochu jinak, a to

$6^x=(0.25)^{x^2}$ .

Za predpokladu, ze jsem to odhadnul spravne, muzes tuto rovnici resit hned logaritmovanim; je-li totiz $x\in\mathbb{R}$ , budou obe stranz puvodni rovnice kladne -- ma tedy smysl logaritmovat. Navic podle pravidel o pocitani s logaritmy dostanes logaritmovanim rovnci

$x\cdot\ln 6=x^2\cdot\ln 0.25.$

To neni ale nic jineho nez kvadraticka rovnice bez absolutniho clene:

$x\cdot a=x^2\cdot b$ , kde $a=\ln 6\quad {\rm a}\quad b=\ln 0.25$ .

Tuto rovnici ale jiste muzes vyresit jiz sam. Na zaver se pak daji pravdepodobne provest nektere zjednodusujici upravy, protoze

$\ln 6=\ln (2\cdot 3)=\ln 2+\ln 3$ a $\ln 0.25=\ln\frac{1}{4}=-2\cdot\ln 2$ .

Marian

TheDeathTime · 12. 11. 2007 21:23

Zdravim, ve stredu piseme test na exponencialni rovnice a ja nevim jak je resit. Neco o tom vim, ale ne vsechno. Mohli byste mi pomoci, pripadne to vysvetlit? Napr. tato rovnice mi vubec nic nerika, mohli byste mi to na ni vysvetlit, pripadne ukazat i nejake slozitejsi?

Reste v R rovnici:
$3^{x+2} + 3^{x-1} = 28$

Melo by vyjit:
$x = 1$

Prosim ozvete se co nejdriv. Dekuji

jelena · 12. 11. 2007 21:47 — Editoval jelena (12. 11. 2007 22:04)

Reseni exponencialnich rovnic je v podstate zalozeno na tom, ze na levou a pravou stranu rovnice dostanu mocniny se stejnym zakladem, v tomto pripade mohu prohlasit, ze i exponety jsou stejne, Uz nebudu psat zaklady mocnin, ale pouze exponenty.
Pouzivam vsechna pravidla pocitani s mocninami, dosti casto substituci. Tvuj priklad je prave z tech jednodussich na pouziti substituce

$3^{x+2} + 3^{x-1} = 28$

$9*3^x + 3^{-1}3^{x} = 28$

substituce $3^x = y$

$9y +y/3 = 28$

$28y = 28*3$

$y = 3$

$3^x = 3$

$x = 1$

Pohledam jeste link na nejake priklady - pohledano a nalezeno toto :-)

http://www.vysokeskoly.cz/maturitniotaz … ovnice.htm

http://www.jreichl.com/matematika/vyuka … invfce.pdf

Ivana · 12. 11. 2007 21:51

Tak si musíš napsat : 28 = 3^3 + 3^0 a dál už je to jasné

x + 2 + x - 1 = 3 + 0

2x = 2

x = 1 Ahoj Ivana

Ivana · 12. 11. 2007 21:54

Pro Jelenu : Zdravím tě ,zase jsi rychlejší.Já jsem to řešení napsala jednodušeji,stačí to tak?

Ahoj Ivana

jelena · 12. 11. 2007 22:17

Ivana napsal(a):
Pro Jelenu : Zdravím tě ,zase jsi rychlejší.Já jsem to řešení napsala jednodušeji,stačí to tak?

Ahoj Ivana

No, kdyz on kolega se dovolaval odezvy co nejdrive :-)

Ten tvuj postup se zda byt opravdu jednoduchy, a je to bezne pouzivany postup?, hodi se pro ruzne modifikace exponencialnich rovnic? Musim se na to podivat...

Ivana · 12. 11. 2007 22:44

Pro Jelena :
Děkuji za pochvalu,víš já si myslím,že v jednoduchosti je krása,ale musí být tvrzení pravdivé.
K tomu příkladu bych ještě dodala ,že učebnicové příklady jsou většinou stavěny tak,že mají společný základ.Tady to byla 3 ,ale pak jsou příklady typu :

log 4
( 4/9)^x * ( 27/8 )^x-1 = -------------
log 8

když si zpočítáme tuto rovnici dostaneme 2^3-x = 2^1
raději slovy : 2 na 3-x = 2 na první
a zároveň 3na x-3 = 3na -první
z toho plyne : 3 - x = 1 x - 3 = -1
x = 2 a x = 2

a potom jsou příklady takové ,že základy jsou např. : 5 a 7 a ty se pak řeší logaritmováním. Je to tak ?
Ahoj Ivana

Kondr · 13. 11. 2007 02:23

jelena napsal(a):
Ten tvuj postup se zda byt opravdu jednoduchy, a je to bezne pouzivany postup?, hodi se pro ruzne modifikace exponencialnich rovnic? Musim se na to podivat...

Postup je to vážně jednoduchý... podobně jednoduchým postupem okouzlil svého profesora matematiky i největší z českých géniů:
http://kondr.ic.cz/index.php?s=blog&t=9
Oba postupy ale mají bohužel krom elegance společné i to, že je neze použít na určitou skupinu problémů.

Co vlastně dle popsaného postupu děláme?
Máme rovnici f(x)=M
1) všimneme si jednoho t takového, že f(t)=M.
2) vymyslíme si lineární funkci g a pro x řešíme rovnici g(x)=g(t)
(v našem případě g(x)=x+2+x-1)
3) protože je g monotónní, vyjde nám řešení x=t, které po dosazení do původní rovnice vyhoví, protože f(x)=f(t)=M.

Pokud je f monotónní,pak jsme tímto našli jediné řešení (které jsme ale už měli v kroku 1). Pokud f monotónní není, o některá řešení přijdeme.

@Ivana: z jedné rovnice nemohou (až na výjimky typu x^2+y^2=0) vzniknout dvě rovnice, proto je Tvůj postup řešení rovnice s tím log(4)/log(8) chybný (ale výsledek vyšel dobře).

Marian · 13. 11. 2007 08:11 — Editoval Marian (13. 11. 2007 08:15)

Pro Ivanin prispevek #5
================

Reseni jsi skutecne dostala. Pojem resit rovnici vsak bezne znamena najit vsechna jeji reseni (pro jednoduchost v R). Jeste zbyva dokazat, ze toto reseni je jedine. Z jelenina postupu to je zrejme. Ze tve uvahy to sice neplyne, ale myslim, ze je jasne, jak by se to zduvodnilo.

Uvedu jeste podobny typ exp. rovnice, ktery se dosti casto vyskytuje:

$3^x+3^{x+1}+3^{x+2}=5^{x}+5^{x+1}+5^{x+2}$ .

Reseni at hleda pripadny zajemce v mnozine R, neznamou je zrejme x.

Pro jelenu
=======

vidim, ze jsi zacala pred nedavnem sazet rovnice v tomto foru pomoci $\TeX$ u. Mozna by bylo vhodnejsi zapisovat nasobeni pomoci prikazu $\backslash\mathtt{cdot}$ . Ale to jen okrajem ...

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2007 12:28 — Editoval matoxy (30. 10. 2007 12:31)

Exponenciálna rovnica

#2 30. 10. 2007 13:56

Re: Exponenciálna rovnica

#3 12. 11. 2007 21:23

Re: Exponenciálna rovnica

#4 12. 11. 2007 21:47 — Editoval jelena (12. 11. 2007 22:04)

Re: Exponenciálna rovnica

#5 12. 11. 2007 21:51

Re: Exponenciálna rovnica

#6 12. 11. 2007 21:54

Re: Exponenciálna rovnica

#7 12. 11. 2007 22:17

Re: Exponenciálna rovnica

Ivana napsal(a):

#8 12. 11. 2007 22:44

Re: Exponenciálna rovnica

#9 13. 11. 2007 02:23

Re: Exponenciálna rovnica

jelena napsal(a):

#10 13. 11. 2007 08:11 — Editoval Marian (13. 11. 2007 08:15)

Re: Exponenciálna rovnica

Zápatí