Matematické Fórum

Jozef3 · 04. 12. 2011 09:37

Ahoj.
Nemáte někdo nápad, jak spočítat, kolik existuje singulárních matic řádu 3 nad tělesem $Z_{5}$ ? Vskutku hezká úloha z kombinatoriky. Řekl bych, že od počtu všech matic řádu 3 nad $Z_{5}$ , kterých je evidentně $9^{5}$ , musím odečíst ty, jejichž řádky jsou lineárně nezávislé. Kolik jich ale je?
Děkuji moc za vaše rady.

Jozef3 · 04. 12. 2011 13:03

Zatím jsem se k výsledku vůbec nepřiblížil. Nemám jít na to raději tak, že budu hledat počet matic, jejichž determinant je rovný nule (případně různý od nuly a pak to odečíst)? I toto mi však přijde ďábelsky složité.

pf · 04. 12. 2011 18:27

Jozef3 napsal(a):
Ahoj.
Řekl bych, že od počtu všech matic řádu 3 nad $Z_{5}$ , kterých je evidentně $9^{5}$ , musím odečíst ty, jejichž řádky jsou lineárně nezávislé. Kolik jich ale je?

Sice jich není $9^{5}$ , ale nejsnazší cesta to asi bude. Počet regulárních matic se dá určit např. takto: 1. řádek cokoli kromě (0,0,0), 2. řádek cokoli kromě násobků 1. řádku, 3. řádek cokoli kromě lineárních kombinací 1. a 2. řádku.

Jozef3 · 04. 12. 2011 18:33

↑ pf:Jak to, že jich není $9^{5}$ ? Vždyť tato matice má přeci 9 prvků a každý z nich lze vybrat 5 způsoby a ty výběry jsou nezávislé, takže jen tupě aplikuji kombinatorické pravidlo součinu.