Matematické Fórum

K a): v podstatě potřebuješ ověřit, že v tom průniku je s každým prvkem i jeho invers a s každými dvěma prvky i jejich "součin" (myšleno grupová operace na ně provedená). Nastíním, proč tam jsou ty inversy, se součiny to jistě už podle tohoto návodu zvládneš.

Takže mějme nějaký prvek v průniku systému podgrup. To znamená, že je v každé podgrupě z toho systému. Protože ovšem jde o podgrupy, tak v každé leží i . No ale protože leží v každé z těch podgrup, tak leží i v jejich průniku, tím pádem zadaný průnik obsahuje s každým prvkem i jeho invers.

Třeba tady na straně 3.

Tak popořadě. Řekněme, že je grupa a libovolná podmnožina. Co potřebujeme ověřit, chceme-li tvrdit, že je podgrupa ?

Ano, tedy pokud "má inverzi" znamená "je uzavřená na operaci inverze".

Tak si vezměme nějakou grupu (s operací ) a nějaký soubor jejích podgrup , chceme ukázat, že je opět podgrupou . Tedy chceme:

i) uzavřenost na inverzy, tedy

ii) uzavřenost na operaci, tedy .


Důkaz i) se provede tak, jak jsem výše naznačoval; formálně to lze zapsat takto:



kde v implikaci označené jsme využili toho, že všechny jsou podgrupy , tudíž jsou uzavřeny na inversy.

↑ Olin:

Toto je tedy celé řešení áčka? Kdyžtak velmi děkuji.

↑ Olin:

x,y náleží průniku i naleží I  Gi -> všechna i náleží I, x,y náleží Gi -> všechna i náleží I, x°y náleží Gi -> x ° y  náleží průniku i náleží I Gi

Je to tak k dvojce? snad se v tom vyznáš :)

↑ Olin:
Super díky myslíš že bys mi mohl ještě pomoct s tím béčkem?

Zvolme si grupu (C; +) a její podgrupy (Z; +) a (i
. Z; +), kde i
. Z = (i.
z | z náleží Z libovolné) Dá se to zapsat takto? Nebo poradil bys mi ještě nějaký jiný zápis? A jak kdyžtak napsat důkaz? :)

↑ Olin:
Z sjednocení i.
Z není uzavřený na operaci +, není tedy ani grupoidem, natož podgrupou grupy (C; +)

Ale asi by to chtělo nějaký důkaz. Mohl bys mi s tím pomoct? :) Nebo jesli si myslel nějaký lepší zapsaní už i začátku tak klidně od tebe radu příjmu :)

↑ Olin:

Nebo dalo by se k tomu b) napsat třeba jen:
(Z, +) podgrupy (3 . Z, +) a (5 . Z, +), kde  i . Z = {i . z, kde z náleží Z}

3+5=8 a to nenáleží 3.Z a zároveň 8 nenáleží 5.Z

Z průnik i . Z tedy není uzavřený na operaci +, není tedy podgrupou grupy (Z , +)

Kdyžtak jesli to lze zapsat nějak formálněji. Děkuji za odpověď.

↑ Rumburak:
A co jsem napsal já je správně nebo jsem to špatně zapsal?

↑ Boleslav:

A co mám posoudit ?  Materiálu se tu už sešlo docela hodně :-).

Pokud kolega ↑ Olin: pochopil, co máš na mysli, a odpověděl Ti, že je to OK, pak se domnívám, že se na to můžeš spolehnout.