Matematické Fórum

rusalka

Zdravím,
potřebovala by jsem nutně pomoci s tím, jak mám u binomické rovnice s komplexními čísly vypočítat úhel $\varphi$

$x^{3}-2=0$
$\alpha =2 ; k=0,1,2; n = 3$
$\alpha =2=2(cos0+i . sin0)\Rightarrow |\alpha |=2;\varphi =0°$

netusim jak se dopidilo k tomu, ze je rovno nule...

dalsi ukazka na:

$x^{4}+1=0$

$\alpha =-1=>1(cos180°+i . sin180°)\Rightarrow |\alpha |=1;\varphi =\Pi$

nikde sem to nenasla aby mi to sedelo...prosim jak si vydedukuju to $\varphi$

diky moc za pomoc

vanok · 06. 12. 2011 21:22

Ahoj ↑ rusalka:,
Tvoj problem sa riesi trochu inac ako si naznacila.
Ja by som pouzil Moivre-ovu vetu
Precitaj si toto
http://cs.wikipedia.org/wiki/Moivreova_v%C4%9Bta

zdenek1 · 06. 12. 2011 22:21

↑ rusalka:
$x^4+1=0$
$x^4-i^2=0$
$(x^2-i)(x^2+i)=0$
$\left[x^2-\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^2\right]\cdot\left[x^2-\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^2\right]=0$
$\left(x-\frac{1+i}{\sqrt2}\right)\cdot \left(x+\frac{1+i}{\sqrt2}\right)\cdot\left(x-\frac{1-i}{\sqrt2}\right)\cdot\left(x+\frac{1-i}{\sqrt2}\right)=0$

((:-)) · 06. 12. 2011 22:36 — Editoval ((:-)) (06. 12. 2011 22:56)

↑ rusalka:

Kolega vanok Ti radí už k postupu umocňovania komplexných čísel v goniometrickom tvare.

Kolega Zdenek Ti riešil úlohu bez vyjadrovania v goniometrickom tvare ...

Myslím, že si sa pýtala, odkiaľ sa berú uhly ...

Ide o prevod medzi goniometrickým a algebraickým tvarom komplexného čísla.

$-1 = -1 + i\cdot 0$ .... algebraický tvar, $\color{magenta}|-1|\color{black} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} =\color{magenta}1$

$z = \color{magenta}|z|\color{black}(\color{red}\cos \varphi \color{black}+ i \cdot \color{blue}\sin \varphi)$

$-1 = \color{magenta}1\color{black}\cdot (\color{red}-1\color{black} + i \cdot\color{blue} 0)$

Hľadáš uhol, pre ktorý je kosínus rovný -1 a súčasne sinus rovný 0.

Taký uhol je 180° , teda $\pi$

Rovnako prvý prípad:

$2 = 2 + 0i$ , $\color{magenta}|2|\color{black}= \sqrt {2^2 + 0^2} =\color{magenta} 2$

$z = \color{magenta}|z|\color{black}(\color{red}\cos \varphi \color{black}+ i \cdot \color{blue}\sin \varphi)$

$2 = \color{magenta}2\color{black}(\color{red}1\color{black} + \color{blue}0\color{black}i)$

Teraz hľadáš uhol, ktorého kosínus je 1 a súčasne sinus je 0. Taký uhol je 0°.

vanok · 06. 12. 2011 22:39 — Editoval vanok (06. 12. 2011 22:40)

Ahoj ↑↑ rusalka,

Pripajam este riesenie tvojho druheho prikladu, metodou co som popisal vyssie.

$x^{4}+1=0$ je equivalentna z $x^4=-1= \sin (\pi)+ i \cos (\pi)$ ,co nam da nasledujuce 4 riesenia:

$x_1=\sin (\frac { \pi} 4)+ i \cos (\frac { \pi} 4)$
$x_2=\sin (\frac { 3 \pi} 4)+ i \cos (\frac { 3 \pi} 4)$
$x_3=\sin (\frac {5 \pi} 4)+ i \cos (\frac {5 \pi} 4)$
$x_4=\sin (\frac {7 \pi} 4)+ i \cos (\frac {7 \pi} 4)$

Dufam ze ti to na nieco posluzi.