Matematické Fórum

krecek · 08. 12. 2011 14:15

vůbec si nevím rady, poraďte, prosím..

derivace (abs(x+sqrt((x^2)+5)))

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} }|x+\sqrt{x^{2} +5}|$

Rumburak · 08. 12. 2011 14:22

↑ krecek:
A kdyba tam ta absolutní hodnota nebyla, tak bys to uměl ?

vanok · 08. 12. 2011 14:24

Ahoj ↑ krecek:,
Uvazuj dva pripady x>0 a x<0, budes tak pracovat bez absolutnej hodnoty.

krecek · 08. 12. 2011 14:25

↑ Rumburak:

to by nebyl problém, to už je potom sranda, ale ta absolutni hodnota tam, nevim, jestli jí mám odstranit nebo co s ní..

krecek · 08. 12. 2011 14:56

jako jedno řešení mi vyšlo vypočítat si limitu $\sqrt{x^{2} + 5} + x$ jdoucí k +- 0, to mi vyšlo $\sqrt{5}$ na každou limitu, takže derivace v bodě existuje, tak to budu brát jenom jako bez abs. hodnoty?

Rumburak

↑ krecek:
Ano, odstranit.
Při odstraňování absolutní hodnoty ve výrazu $|V(x)|$ , kde funkce $V(x)$ nabývá pouze reálných hodnot (míněno: nikoliv imaginárních),
se nám úloha rozpadne obecně na dvě části - dle toho, zda $V(x) \ge 0$ či $V(x) < 0$ . Zde to bude dokonce mnohem jednodušší .

Rumburak

↑ krecek:
Ta absolutní hodnota ve výraze $|x+\sqrt{x^{2} +5}|$ opravdu nemá žádný význam, ale Tvé zdůvodnění plynoucí z oněch limit
je platné pouze omezíme-li se na x dostatečně blízká k 0.

Obecně platí $x^{2} +5 > x^{2}$ $(\ge 0)$ , takže můžeme na tuto nerovnost aplikovat druhou odmocninu, což je rostoucí funkce, proto

$\sqrt{x^{2} +5} > \sqrt{x^2} = |x| = \max \{ x, -x \} \ge -x$ .

Odtud přičtením x obdržíme

$x + \sqrt{x^{2} +5} > x + \sqrt{x^2} = x + |x| \ge x + (-x) = 0$ ,

tedy nalevo máme vždy kladné číslo, tudíž $|\,x+\sqrt{x^{2} +5}\,| = x+\sqrt{x^{2} +5}$ pro každé reálné x.