Matematické Fórum

adela91 · 06. 12. 2011 20:38

Ahoj,

mám potíže s následující úlohou

Konkrétně mi není jasné, jak by zobrazení mohla být vektorovým prostorem. Jak se budou sčítat a násobit?

Andrejka3

Sčítat se budou po bodech. Jak jinak co nejpřirozeněji to definovat?
$\left( f + g \right) (j) = f(j) + g(j) \; \forall f,g \in V \; \forall j \in \{ 1,2. \dots , m \}$
Násobit? Zkus to vymyslet?

adela91 · 07. 12. 2011 00:18

↑ Andrejka3:

A co když bude takové zobrazení třeba identita.

Pak $f(m)+f(m-1) = 2m-1$ Na to ale nemusí být T dost velké, ne?

Andrejka3

Tady by nemělo mít smysl se bavit o identitě. Objekt ze kterého se zobrazuje, je množina
$\{1,2, \dots , m\}$ ,
kdežto zobrazuje se do objektu tělesa. V definici problém není. Tělesa jsou uzavřena na své operace. Zkus si vyhledat konečná tělesa v googlu třeba.
Konecna telesa

A k tvé poznámce jinak. Protože Tys to jistě myslela ve smyslu: $f(j)=j$ . Samozřejmě takovéto zobrazení nemá smysl pro tělesa taková, že $n < m - 1$ .
Například ale, kdyby $n=m=2$ , a $f(j)=j-1$ pak není problém.
$(f+f)(2)=f(2) +f(2)=1+1=0$ .

vanok · 07. 12. 2011 13:55

Ahoj ↑ adela91:,
Mna by zaujimalo na akej urovni je dany tento "otvoreny" problem. (rocnik, studium)
Dakujem.

babca · 08. 12. 2011 20:56

↑ vanok: MFF prvni rocnik, Linearni algebra :)

Andrejka3 · 08. 12. 2011 21:02

Je ještě nějaký problém s řešením tohoto příkladu? Mohla bych s něčím pomoct?

vanok · 08. 12. 2011 21:05

↑ babca:
To sa ta pytal aby som si mohol predstavit co mozes vediet o telesach.
A ak mas este nejake otazky k tomuto problemu napis.

babca · 08. 12. 2011 21:31

no momentalne resim tu bazi, rekneme ze je to vektorovy prostor. Jak potom z toho ziskam tu bazi?
definice je celkem k prdu, jelikoz je tvaru implikace. Jediny co me napadlo, je ze generatory jsou vsechna ta zobrazeni.

babca · 08. 12. 2011 21:42

Bud $B = \{b_1, ..., b_n\}$ baze $\Rightarrow \forall v \in V: v = \sum_{1}^{n} \alpha_i b_i$ zaroven/nebo $b_1, ..., b_n : \sum_{}^{} \alpha_i b_i = 0$ a jsou to generatory. Tedy postavit si silenou matici pro vsechna a z {1...m} postvat na to RREF. Vic me zatim nenapada.

babca · 08. 12. 2011 22:03

Takovato matice (nevim jak zde udelat matici):

g_1(1) & g_2(1) & ... & g_n(1)
g_1(1) + g_1(1) & g_2(1) + g_2(1) & ... & g_n(1) + g_n(1)
...
A_{k*} = A_{k-1*} + A_{k-2*}
...
A_{n*}

Andrejka3

Není třeba nic šíleného.
Zkoumej zobrazení jako. Necht $j \in \{1,2, \dots , m \}$ je pevne. Dejinujme $f_j \in V$ tak, že
$f_j(i)=0$ pokud $i \neq j$ a $f_j(i)=1$ pokud $i = j$

Edit: třeba se ozve i kolega vanok a poradí šikovněji.

babca · 08. 12. 2011 22:10

Hmm takze to ma m generatoru a jsou to $f_j(i), \text{t.z j = i}$ ?

vanok · 08. 12. 2011 22:15 — Editoval vanok (08. 12. 2011 22:22)

↑ babca:,
co ti poradila kolegina ↑ Andrejka3: je zaujimave.
Skus ukazat ze $f_j$ pre $j = 1,..., m$ generuju priestor $V$ a potom odpovedz na otazku ci su linearne nezavisle. AK ano....

Len mala poznamka:
tvoj vektorovy priestor ma $(card T)^m$ prvkov ( cize v tomto pripade funkcii) kde $card T$ je pocet prvkov telesa $T$ .

Ak mas tazkosti to vidiet ako to vsetko funguje skus najprv riesit specialny pripad,
na priklad pre $V$ zobrazenia z $\{1, 2, 3 \}$ do telesa $T= \{0, 1\}$

babca · 08. 12. 2011 22:47

$m > n \Rightarrow dim V = n \& <\{g_1,...g_n\}> = V$
$m \le n \Rightarrow dim V = m \& <\{g_1,...g_m\}> = V$
pro
$g_j(i) = 1 \Leftrightarrow j = i$

Co takhle?

vanok · 08. 12. 2011 22:50

↑ babca:,
urcite to lepsie pochopis ak nakprv urobis ten specialny pripad co som ti navrhol:
↑ vanok:

babca · 09. 12. 2011 00:05 — Editoval babca (09. 12. 2011 02:11)

Omlouvam se za spozdeni, ale cestou z fakulty na kolej mi to v tramvaji konecne docvaklo :)
$\textbf{T} = (T, +, *, e_+, e_*) \Rightarrow M = \{f \in V: f(i) = e_* \wedge \forall j \in \{1,...,m\} j \not = i : f(j) = e_+; \forall i = \{1, ..., m\}\} \not = \emptyset \Rightarrow |M| = m \wedge M \subseteq V \wedge \langle M \rangle = V \wedge \sum_{f \in M} \alpha_if = 0 \Leftrightarrow \forall \alpha_i = e_+$

tedy dim V = m a M je baze.
Dekuji moc za rady :)

Andrejka3

$\textbf{T} = (T, +, *, e_+, e_*) \Rightarrow$
$M = \{f \in V: f(i) = e_* \wedge \forall j \in \{1,...,m\} j \not = i : f(j) = e_+; \forall i = \{1, ..., m\}\}$
$\not = \emptyset \Rightarrow |M| = m \wedge M \subseteq V \wedge \langle M \rangle =$
$V \wedge \sum_{f \in M} \alpha_if = 0 \Leftrightarrow \forall \alpha_i = e_+$
S dovolenim si to rozdelim at se to vejde na obrazovku a pak odpovim.

Edit: Ano, presne tak :)

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2011 20:38

vektorový prostor, báze a dimenze

#2 06. 12. 2011 22:16 — Editoval Andrejka3 (06. 12. 2011 22:17)

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#3 07. 12. 2011 00:18

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#4 07. 12. 2011 10:51 — Editoval Andrejka3 (07. 12. 2011 10:53)

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#5 07. 12. 2011 13:55

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#6 08. 12. 2011 20:56

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#7 08. 12. 2011 21:02

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#8 08. 12. 2011 21:05

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#9 08. 12. 2011 21:31

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#10 08. 12. 2011 21:42

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#11 08. 12. 2011 22:03

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#12 08. 12. 2011 22:06 — Editoval Andrejka3 (08. 12. 2011 22:06)

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#13 08. 12. 2011 22:10

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#14 08. 12. 2011 22:15 — Editoval vanok (08. 12. 2011 22:22)

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#15 08. 12. 2011 22:47

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#16 08. 12. 2011 22:50

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#17 09. 12. 2011 00:05 — Editoval babca (09. 12. 2011 02:11)

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

#18 09. 12. 2011 10:27 — Editoval Andrejka3 (09. 12. 2011 10:33)

Re: vektorový prostor, báze a dimenze

Zápatí