Matematické Fórum

apurvathea · 25. 08. 2008 17:14

Množina všech reálných čísel pro která platí
$8^x < -1$ je rovna mnozine

Pavel Brožek · 25. 08. 2008 17:23

Je rovna prázdné množině. Pokud kladné číslo umocníš na libovolné reálné číslo, vždy dostaneš opět kladné číslo. Zkus si nakresli graf funkce $f(x)=8^x$

fr88styl8

pokud je "<" znamenko mensi nez tak to neplati, 8 na x +1 je vzdy kladne a nabyva hodnot 1 az nekonecno pokud je x z mnoziny R (realnych cisel)

tze mnozina pro kterou to plati je prazdna mnozina

nebo ne?

fr88styl8 · 25. 08. 2008 17:31

nekdo byl rychlejsi :D

apurvathea · 25. 08. 2008 17:36

já tomuhle právě vůbec nerozumím, koupila jsem si i knížku funkce, je tam miliony příkladů ale tenhle základ ne...
když je např. $(\frac{4}{7})^x >0$ tak je výsledek (-oo, oo)

fr88styl8

↑ apurvathea:

tam dosazujes za x cisla z nejake mnoziny, a pro kazde x plati ze je vyraz na leve strane vetsi nez nula

apurvathea · 25. 08. 2008 17:42

a třeba $(\frac{5}{3})^x <1$ tam je taky < a vysledek maji (-oo, o)

fr88styl8

↑ apurvathea:

kdyz dosadis treba 1 tak vyraz je vetsi nez 1 tze to neplati

vyrazy mensi nez 1 jsou vsechny se zapornym exponentem!

apurvathea · 25. 08. 2008 17:49

takze vzdycky z intervalu mam vybrat cislo dosadit za x..?

fr88styl8 · 25. 08. 2008 17:52

↑ apurvathea:

poloz si otazku pro ktera x (jaky inetrval) je dany vyraz pravdivy

aritentd · 25. 08. 2008 17:54

↑ fr88styl8:

Podle me nula do toho intervalu nepatri..nebot f(0)=1.

aritentd · 25. 08. 2008 17:57

$x^0=1$

prohledni si grafy exponencialnich funkci (jeden je v mem predchozim prispevku)

apurvathea · 25. 08. 2008 18:07

tak už je mi to jasný.... zkoušela jsem 20 příkladů a všechny dobře, tak snad už to chápu... díky za pomoc

apurvathea · 25. 08. 2008 18:28

tak a když je zadáno
$x^2-3x+2>0$ je rovno množině:
a) (-oo, -2) U (-1, +oo)
b) (-2, -1)
c) (1,2)
d) (-oo, 1)U (2, 8)

dokážu spočítat kořeny: x1=2 a x2=1 ale jak urcit interval nevim

Pavel Brožek

↑ apurvathea:

Koeficient u $x^2$ je kladný (je jedna), takže grafem $x^2-3x+2$ je parabola otevřená nahoru. Když si načrtneš graf, je zřejmé, kdy je parabola nad osou x, čili $x^2-3x+2>0$ .

Dá se to taky řešit tak, že ty nulové body ti rozdělí reálnou osu na intervaly na kterých $x^2-3x+2$ nemění znaménko. Stačí pak vybrat číslo z každého intervalu a dosadit do nerovnice. Pokud nerovnice platí, platí pro celý interval, pokud neplatí, neplatí pro celý interval.

apurvathea

huuuuu tak to je masakr, at dosadim cokoliv, z jakehokoliv intervalu, vyjde mi, ze to ma smysl.... teda krome c)

aritentd · 25. 08. 2008 18:47

ty intervaly jsou
(-oo;1) (1;2) (2;+oo)
(nulove body jsem vyjmul, jelikoz hledame vyraz >0)
Smysl ma vyraz pouze ve dvou z nich, ve tretim je nas vyraz mensi nez nula

apurvathea · 25. 08. 2008 18:54

a interval (-2, -1) ?

aritentd · 25. 08. 2008 19:01

↑ apurvathea:
Je soucasti intervalu (-oo;1) na kterem je nas vyraz vetsi nez nula.

Nulove body ti rozdeli mnozinu R....a pouze tyto intervaly potrebujes (jsou v mem predchozim prispevku)

Pavel Brožek · 25. 08. 2008 19:14

↑ apurvathea:

Od začátku:
Tyto nerovnice řešíme obvykle tak, že vše převedeme na levou stranu a na pravé zůstane nula. To už tady máme. Poté určíme nulové body výrazu na levé straně (zde $x=1$ a $x=2$ ). Tyto nulové body rozdělí reálnou osu na části (zde $(-\infty,1)$ , $(1,2)$ a $(2,+\infty)$ ). Pokud bereme x pouze z jednoho intervalu, má pro ně levá strana nerovnice vždy stejné znaménko. Proto zkusíme čísla z každého intervalu dosadit do nerovnice:

$(-\infty,1)$ : vyberu z něj například číslo -2 a dosadím, zřejmě $12>0$ platí, takže všechna x z $(-\infty,1)$ jsou řešením nerovnice.
$(1,2)$ : vyberu z něj například číslo $\frac{3}{2}$ a dosadím, zřejmě $-\frac14>0$ NEplatí, takže všechna x z $(1,2)$ NEjsou řešením nerovnice.
$(2,+\infty)$ : vyberu z něj například číslo 3 a dosadím, zřejmě $2>0$ platí, takže všechna x z $(2,\infty)$ jsou řešením nerovnice.

Ještě jsme nevyšetřili body x=1 a x=2, ty dosadíme do nerovnice a okamžitě zjistíme, že nerovnost $0>0$ neplatí.

Řešením jsou tedy všechna x, pro které nerovnice platí, tedy $(-\infty,1)\cup(2,\infty)$ . Teď se teprve podíváme na nabízené možnosti. Vidíme, že žádná z nich není dobře (pokud hledáme všechna řešení v reálných číslech).

aritentd · 25. 08. 2008 19:39

Jenom doplnim...pokud to bude rovnice nebo nerovnice typu (vetsi nebo rovno, mensi nebo rovno) pak musime nulove body do danych intervalu zahrnout.

apurvathea · 25. 08. 2008 19:58

↑ BrozekP: diky moc, uz chapu.... jsem natvrdlo

halogan

Pomozte si grafy. Pokazde si pomozte grafy.

Exponencialni funkce:
Pokud je zaklad mensi nez jedna, je tato funkce klesajici. Napr. $(\frac{2}{3})^x$ .

Pokud je zaklad vetsi nez jedna, je funkce rostouci.

Pokud jsou takto jednoduche (bez absolutnich clenu, exponent pouze neznama), protinaji osu y v jednicce. (pze. R+ cisla ^0 = 1). Pripadne si dopocitate prunik s osou Y. Je dobre vedet, jak ta funkce vypada. Pak uz je reseni jednodussi.

Pokud hledame $(\frac{1}{2})^x > 16$ . Uvedomime si, ze je funkce klesajici. Ze hodnoty 16 nabyva funkce pri x = -4 a kdyz je klesajici, tak je to (-oo, -4).

Co se tyce kvadratickych rovnic:
Koukame na znamenko u hodnoty u kvadratickeho clenu (neznama na druhou). Pokud je kladne, je funkce otevrena nahoru. Takze mezi nulovymi body je funkce pod osou x. V druhych dvou intervalech je nad x.

Pokud mame jen jeden nulovy bod, tak jen a pouze prave v nem nabyva funkce hodnoty 0.

Pokud nemame zadny nulovy bod, je cela funkce pod/nad osou x.

Pokud je znamenko u hodnoty u kvadratickeho clenu zaporne, je to opacne. Funkce dosahuje mezi NB kladnych hodnot a v ostatnich intervalech zapornych.

---

Jasne?

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2008 17:14

ach ty množiny..

#2 25. 08. 2008 17:23

Re: ach ty množiny..

#3 25. 08. 2008 17:30 — Editoval fr88styl8 (25. 08. 2008 17:33)

Re: ach ty množiny..

#4 25. 08. 2008 17:31

Re: ach ty množiny..

#5 25. 08. 2008 17:36

Re: ach ty množiny..

#6 25. 08. 2008 17:38 — Editoval fr88styl8 (25. 08. 2008 17:41)

Re: ach ty množiny..

#7 25. 08. 2008 17:42

Re: ach ty množiny..

#8 25. 08. 2008 17:46 — Editoval fr88styl8 (25. 08. 2008 17:58)

Re: ach ty množiny..

#9 25. 08. 2008 17:49

Re: ach ty množiny..

#10 25. 08. 2008 17:52

Re: ach ty množiny..

#11 25. 08. 2008 17:54

Re: ach ty množiny..

#12 25. 08. 2008 17:57

Re: ach ty množiny..

#13 25. 08. 2008 18:07

Re: ach ty množiny..

#14 25. 08. 2008 18:28

Re: ach ty množiny..

#15 25. 08. 2008 18:36 — Editoval BrozekP (25. 08. 2008 18:37)

Re: ach ty množiny..

#16 25. 08. 2008 18:44 — Editoval apurvathea (25. 08. 2008 18:46)

Re: ach ty množiny..

#17 25. 08. 2008 18:47

Re: ach ty množiny..

#18 25. 08. 2008 18:54

Re: ach ty množiny..

#19 25. 08. 2008 19:01

Re: ach ty množiny..

#20 25. 08. 2008 19:14

Re: ach ty množiny..

#21 25. 08. 2008 19:39

Re: ach ty množiny..

#22 25. 08. 2008 19:58

Re: ach ty množiny..

#23 25. 08. 2008 21:16 — Editoval halogan (25. 08. 2008 21:17)

Re: ach ty množiny..

Zápatí