Matematické Fórum

emma · 07. 12. 2011 08:14

ahoj potřebovala bych pomoct s pochopením tohoto řešeného příkladu

největší problém až s tím posledním krokem, tedy samotné ověření kolinearity bodu

děkuju

vanok · 07. 12. 2011 10:22 — Editoval vanok (07. 12. 2011 10:22)

Ahoj ↑ emma:,

Co sa tyka posledne bodu:
tam sa overuje ze body F, B, E su na imaginarnej osi; a to je equivalentne ze pomer $\frac {e-b}{b-f}$ je realny.
(a to je iste to tvoje tretie kriterium citovane v texte)

O aku zbierku prikladov ide?
A na akej urovni sa toto uci?

Rumburak

↑ emma:

Jak víme, množinu (konečných) kompleních čísel můžeme ztotožnit s rovinou (opatřenou kartéskou souřadnicovou soustavou Pxy
při obvyklé orientaci os) prostřednictvím vztahu

(1) $X = [x, y] = x + y \mathrm{i}$ .

Základem je pochopit operaci otočení o pravý úhel okolo daného středu S.
Z Moivreovy věty pro součin dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru plyne, že otočením bodu (1) okolo $S = [0, 0]=0$
o pravý úhel dostaneme body

$\omega_0(X) = (x + y \mathrm{i}) \mathrm{i} = -y + x \mathrm{i}$ (pro otočení v kladném směru , tj. proti směru hodinových ručiček) ,

$\omega_0^{-1}(X) = (x + y \mathrm{i}) \mathrm{i}^{-1} = x \mathrm{i}^{-1} + y = y - x \mathrm{i} = -\omega_0(X)$ (pro otočení v záporném směru) .

Odtud snadno odvodíme, že otočení o pravý úhel bodu (1) okolo obecného středu S bude popsáno vzorci

$\omega_S(X) = \omega_0(X-S) + S$ (kladný směr) ,
$\omega_S^{-1}(X) = \omega_0^{-1}(X-S) + S = -\omega_0(X-S) + S$ (záporný směr) .

Vyjdeme-li z bodů F, C, K, B umístěných stanoveným způsobem (speciálně F = 0), pak pomocí bodů C, B, K a předchozích vzorců pro S = B
můžeme vyjádřit body A, N a tudíž i bod $E = \frac{A + N}{2}$ . K dokončení důkazu, že body F, B, E leží na společné přímce (tou nemůže být jiná přímka
než přímka FB), stačí ukázat, že E leží na imaginární ose (kde leží i body F, B) . Ve vzorovém důkazu je tato jeho část provedena zbytečně složitě.