Matematické Fórum

Blizz · 09. 12. 2011 12:56

Potřeboval bych poradit s následujícím, poměrně banálním příkladem:Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A=[6,-2,3] a přímkou p: x=-2+13t, y=-1-t, z=2.
Nevím, jestli to počítám správně: 13x-1x+0z+d=0 pak, 13*6+1*-2+0*3+d=0 po úpravě d=-80 a tedy by obecná rovnice roviny byla 13x+y-80=0 ? Anebo tento postup lze aplikovat je je-li rovina kolmá k přímce? Díky za radu.

Rumburak

Ke kontrole Tvého postupu by bylo dobré vědět, odkud se vzala rovnice 13x-1x+0z+d=0 , jak z ní vyplývá 13*6+1*-2+0*3+d=0 atd.,
aby Tvé úvahy byly dostatečně průhledné. Zkouškou dosazením se dá zjistit, že Tebou nalezená rovnice 13x+y-80=0 neobsahuje
bod A=[6,-2,3] ani bod [-2,-1, 2], jímž zřejmě prochází daná přímka, která má v rovině ležet - takže to není správné řešení.

Rovina je jednoznačně určena, je-li např. dán některý její bod A a její dva lineárně nezávislé směrové vyktory u, v , to vede k parametrické
rovnici X = A + t*u + s*v , kte t, s jsou parametry procházející R. Tato parametická rovnice je rovnicí "vektorovou" a představuje tak
soustavu třech rovnic "skalárních" - když z této soustavy vyloučíme parametry t, s, dostaneme obecnou rovnici roviny.
V naší úloze, kdy rovina má procházet bodem A a onou přímkou, je tedy dán bod A, za vektor "u" můžeme vzít směrový vektor té přímky
a za vektor "v" libovolný vektor X - A, kde X je bod té přímky.

Když by hledaná rovina měla být kolmá k dané přímce, pak by šlo o odlišnou úlohu, která by se samozřejmě řešila jinak.

Blizz · 09. 12. 2011 15:10 — Editoval Blizz (09. 12. 2011 15:10)

↑ Rumburak:Nezlob se, ale řešení daného příkladu jsem z toho co jsi napsal nějak nepochopil.

Rumburak · 09. 12. 2011 15:25

↑ Blizz:

Nezlobím se :-) . Tak postupně prober, co je nejasné. Vezmi to od začátku ...

Blizz · 09. 12. 2011 15:39

↑ Rumburak:: chápu, že X=A+u*t+x*s resp. x=a1+u1*t+v1*s, y=a2+u2*t+v2*s, z=a3+u3*t+v3*s. Mám-li zadáno, že p: x=-2+13t, y=-1-t, z=2 pak u1=13, u2=-1 u3=0 resp. u=(13;-1;0) a cituji " je tedy dán bod A, za vektor "u" můžeme vzít směrový vektor té přímky a za vektor "v" libovolný vektor X - A, kde X je bod té přímky." Tohle jsem prostě nepochopil.

Rumburak · 09. 12. 2011 16:44

↑ Blizz:
V parametricjké rovnici roviny $\rho$ - napíši ji teď pořádně v TeXu:

(1) $X = A + t\vec{u}+s\vec{v}$ ,

mají jednotlivé její "objekty" na pravé straně svůj geometrický význam:

(2) A je bod, jímž rovina $\rho$ prochází ,

(3) $\vec{u}, \vec{v}$ jsou lineárně nezávislé vektory, které jsou zároveň rovnoběžné s danou rovinou $\rho$ (méně přesně, zato názorněji, říkáme,
že tyto vektory "leží" v rovině $\rho$ ) - říká se jim směrové vektory té roviny.

Těmito objekty je rovina jednoznačně určena. Zvolíme-li je i jinak , aniž bychom ale porušili podmínky (2), (3), dostaneme rovnicí (1) tutéž rovinu $\rho$ .

Rovnici (1) můžeme přepsat do tvaru $X -A = t\vec{u}+s\vec{v}$ , takže její význam je pak následující :

$X \in \rho$ právě když vektor X - A je lineární kombinací (neboli patří do lineárního obalu) vektorů $\vec{u}, \vec{v}$ .

Mějme bod $A \in \rho$ .
Jestliže nějaká přímka p "leží" v rovině $\rho$ , pak i směrový vektor této přímky "leží" v rovině $\rho$ a můžeme mu přisoudit roli vektoru $\vec{u}$ v (1).
Jestliže dále bod W (abychom nepoužívali proměnnou X z rovnice (1)) leží na téže přímce p, potom $A, W \in \rho$ a tedy vektor W - A "leží v rovině $\rho$ .
Pokud pnavíc přímka p neprochází bodem A, potom vektory $W - A, \vec{u}$ jsou linárně nezávislé a tedy vektoru W - A můžeme přsoudit roli vektoru $\vec{v}$
v rovnici (1).

Už je to O.K. ?

Blizz · 09. 12. 2011 19:40

↑ Rumburak:: Podle toho co jsi napsal vektor "u" je směrovým vektorem, který vyčtu z rovnic pro přímku a tedy u=(13;-1;0) následně pak hledám vektor "v", přičemž je torozdíl bodů B-A, kde bod B má podle zadání hodnoty (6;-2;3), opět vyčtu z rovnic zadané pro přímku "p". Výsledný vektor "v"=(8;-3;1). Po dosazení do paramterického vyjádření pro rovinu dostanu x=6-13t+8s
y=-2-1t-3s
z=3+0t+1s
A tohle řešení potřebuji dostat do obecné rovnice pro rovinu tedy ax+bx+cz+d=0, přičemž z toho co jsi napsal jsem pochopil, že stačí odstranit parametry t,s a dostanu tak obecné řešení tedy x=6-13+8=1, y=-6, z=4. Pak už stačí jen dosadit a dostanu 1x-6y+4z+d=0 a d je pak tedy 11 a nebo musím za x,y,z ještě dosadit?

Rumburak

↑ Blizz:

To sestaveni par. rovnice roviny jsi, zda se, pochopil, ale pokud jde o numerickou stranku - mne to vychazi mirne jinak. Zrekapitulujme dosavadni reseni.
Dopopurucuji dodrzet oznaceni podle zadani, takze:

Je dan bod A=[6,-2,3] a přímka p: x=-2+13t, y=-1 - t, z= 2 prochazejici bodem B=[-2 ,-1, 2] a majici smerovy vektor u = (13, -1, 0) . Ten bude
zaroven jednim ze smrovych vektoru hledane roviny, druhym jejim smerovym vektorem muze byt v = A - B = (8, -1 , 1) (protoze i B bude patrit do roviny),
pokud ovsem neni nasobkem vektoru u , coz opravdu neni , jak je zrejme jjich porovnanim . Par. rovnice roviny bude X = A + t u + s v , po rozepsani
podle souradnic dostaneme soustavu

x = 6 + 13t + 8s
(S) y = -2 - t - s
z = 3 + s .

A z toho mame dostat rovnici. Ne ovsem tak, ze parametry "skrtneme" (!!!), napsal jsem, ze parametry "vyloucime" neboli "eliminujeme" : na soustavu (S)
pohlizime jako na soustavu tri rovnic o peti neznamych x, y, z, t, s a pracujeme s ni (napr. dosazovaci nebo scitaci metodou) tak, aby nezname t, s, ktere nas
uz nezajimaji, postupne ubyvaly . Napr. ze treti rovnice vyjadrime s = ... a to dosadime do prvni a druhe a pak na treti rovnici zapomeneme, dostaneme tim
soustavu uz jen dvou rovnic o ctyrech neznamych x, y, z, t. Obdobnym zpusobem vyloucime neznamou t a dostaneme tak uz jen jednu rovnici o neznamych
x, y, z a to bude hledana obecna rovnice roviny.

Blizz · 09. 12. 2011 22:19 — Editoval Blizz (09. 12. 2011 22:23)

takže:
$x=6+13t+8s\nl y=-2 -t -s\nl z=3 +s$
z poslední rovnice se $s=z-3$ , to dosadím do obou předcházejících
$x=6+13t+8(z-3)\nl y=-2 - t -z+3$
po úpravě
$x=6+13t+8z-24\nl y=1-t-z$
z druhé rovnice si vyjádřím t
y+z-1
dosadím do první
x=6+13(x+z-1)+8z-24
po úpravě
x=6+13y+13z-13+8z-24
a další úpravě
x=13y+21z+37