Matematické Fórum

fojjta · 09. 12. 2011 15:47 — Editoval fojjta (09. 12. 2011 16:59)

Hledám souřadnice bodu/ů $C[x_{c},y_{c}]$ , který se nachází nad úsečkou AB, $A[x_{a},y_{a}]$ , $B[x_{b},y_{b}]$ . C leží na vrcholu rovnostranného trojúhelníku (který není součástí úsečky) o straně a, kde $a=\frac13|AB|$ .
Dostal jsem se sem. Výška trojúhelníku je $v=\frac{\sqrt3a}{2}$ a tu samou vzdálenost lze vyjádřit pomocí vzorce $d=\frac{|ax_{c}+by_{c}+c|}{|AB|}$ kde a,b,c jsou vyjádřeny z obecné rovnice přímky AB. Jenže po porovnání $v=d$ body $[x_{c},y_{c}]$ nedostanu. Tuším, že nemá cenu to počítat třeba jako průsečíky kružnic z bodů A,B o poloměru $r=\sqrt{(a+\frac{a}{2})^2+v^2}$ a existuje snadnější řešení.

Dodatečné informace:
Jeho dva body leží na úsečce AB, třetí (C) je tudíž mimo. Jeho první bod leží na úsečce AB ve vzdálenosti a od A, jeho druhý bod ve vzdálenosti a od B.
Jedná se o část kochovy křivky, obrázek zde: odkaz

Phate · 09. 12. 2011 16:46

Ahoj,
Prosimte, muzes pro me upresnit zadani? Pises o nejakem rovnostranneho trojuhelniku, ale jedine co uvadis je, ze jednim jeho bodem je C a delka jeho strany. Nektera z techto stran trojuhelniku lezi na usecce AB nebo primce AB? nebo jak to je? Z toho co jsi napsal uplne nevyplyva, kde ten teojuhelnik lezi a jestli ma vubec nejakou suvislost s useckou AB krom toho, ze jeho strana meri tretinu AB, diky.

Phate · 09. 12. 2011 17:04 — Editoval Phate (09. 12. 2011 17:04)

Tak tech moznosti je spousty a spousty, protoze v tom pripade tech informaci mame hodne. Napr. muzes uvazit tu vysku, jak jsi to delal a vzit si rovnici primky, ktery tvori osu usecky AB. Nebo by se take dalo vypocitat vzdalenost AC=BC a hledat takove body C, pro ktere bude platit, ze budou od A i B vzdalene o tu vypoctenou vzdalenost. Obema metodama ovsem dostaneme dve reseni a ty pises, ze hledas jen C lezici nad primkou, to by slo osetrit tak, ze dosadis bod C do rovnice primky AB a budes si divat na znamenko, podle toho bude lezet nad ci pod, urcite by se nasly dalsi zpusoby. Kruznice jsou urcite taky moznost, ale nevim, jestli ti v polomeru te kruznice ri obecnem vyjadreni uz i tak nebudou vychazet hnusne vyrazy.

fojjta · 09. 12. 2011 17:11 — Editoval fojjta (09. 12. 2011 17:30)

Když mám tedy rovnici osy úsečky AB a výšku trojúhelníku v, jak spočtu ty souřadnice?
Šlo by to průnikem osy úsečky AB a přímky rovnoběžné s AB která má v obecné rovnici c=v?

Phate · 09. 12. 2011 17:29

Pokud to budes cele pocitat obecne, tak osa bude podle me nejjednodussi, jinak bych volil asi spise tu druhou variantu, protoze obecne ta vzdalenost nemusi byt vubec hezka, pocitalo by se to nejak takhle:
$S_{AB}=[\frac{x_a+x_b}2,\frac{y_a+y_b}2]$
Pak mame, ze:
$|S_{AB}C|=\frac{\sqrt3}2 \cdot \frac13 |AB|=\frac{\sqrt3}6\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}$
A podle pythagorovy vety mame, ze $|AC|^2=|AS_{AB}|^2+|S_{AB}C|^2$ a odtud si vyjadrime $|AC|$ :
$|AC|=\sqrt{(\frac{x_a-x_b}2)^2+(\frac{y_a-y_b}2)^2+$\frac{\sqrt3}6\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}$^2}$
Coz by se dalo jeste nejak hezceji upravit, ale myslim si, ze to tou metodou osy bude vychazet lepe, Kazdopadne vydej se kudy chces, tu mas uz zacatek.

fojjta · 09. 12. 2011 19:10

Prosím o ověření tého úvahy:
Mám spočítanou obecnou rovnici AB: $(y_{b}-y_{a})x+(x_{a}-x_{b})y+c_{ab}=0$ kde $c_{ab}=-(x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})$ ,
poté výšku trojúhelníku $v=\frac{\sqrt3}6 |AB|$ ,
a obecnou rovnici osy úsečky AB, čili SC: $(x_{b}-x_{a})x+(y_{b}-y_{a})y+c_{sc}=0$ kde $c_{sc}=-(x_{b}^{2}+y_{b}^{2}-x_{a}^{2}-y_{a}^{2})$ .
Nyní pokud chci vyjádřit přímku $p, C\in p, p\parallel AB$ , mohu ji vyjádřit takto:
$p: (y_{b}-y_{a})x+(x_{a}-x_{b})y+(c_{ab}+v)=0$ ?
Poté bych jen vypočítal $C\in p\cap SC$ .

Phate · 10. 12. 2011 10:48

↑ fojjta:
Ahoj,tak uz jsem tu.
primka AB $(y_{b}-y_{a})x+(x_{a}-x_{b})y+c_{ab}=0$ , $c_{ab}=-(x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})$ , vyska $v=\frac{\sqrt3}6 |AB|$ nemam zadne vytky
$(x_{b}-x_{a})x+(y_{b}-y_{a})y+c_{sc}=0$ $c_{sc}=-(x_{b}^{2}+y_{b}^{2}-x_{a}^{2}-y_{a}^{2})$ co jsi dosazoval za $c_{sc}$ ? $S_{AB}$ ? Potom mi tam nejak schazi ty poloviny, ale mozna se pletu. Kazdopadne $p: (y_{b}-y_{a})x+(x_{a}-x_{b})y+(c_{ab}+v)=0$ je podle spravne a chtelo by se to jeste zamyslet nad tim, jestli se timto zpusobem posuneme vzdy v nami pozadovanem smeru, cili tak, abychom byli jak jsi rikal nad AB ale ne nad BA, jestli si rozumime. Pokud to bude moc tezky na rozmysleni, urcite by to slo zkusit vysetrit na par grafech s presnyma nejakyma jednoduchyma hodnotama.

fojjta · 10. 12. 2011 18:19

$c_{sc}$ jsem vyjadřoval takto: $c_{sc}=-[(x_{b}-x_{a})\frac{x_{a}+x_{b}}{2}+(y_{b}-y_{a})\frac{y_{a}+y_{b}}{2}]$ (x_{b}-x_{a}). Tedy $S_{AB}$ je stejně jak jsi psal $S_{AB}=[\frac{x_a+x_b}2,\frac{y_a+y_b}2]$ a pak tam vypadl vzorec (a-b)(a+b).
Každopádně jestliže je to správně, jdu se do toho pustit.

Phate · 10. 12. 2011 18:23

↑ fojjta:
kde ti teda vypadla ta jedna polovina? nebo to asi nechapu ja

fojjta · 10. 12. 2011 18:35

Chyba, má to být $c_{sc}=\frac{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}{2}$ , jak jsem dělal úpravy, tak jsem na dvojku zapoměl.

Phate · 10. 12. 2011 18:41

↑ fojjta:
Ok, s tim souhlasim.

fojjta · 10. 12. 2011 21:08

Tak já to uzavřu, děkuji za pomoc a až budou výsledky, tak sem třeba dám ukázku.

fojjta · 13. 12. 2011 17:38

Výše zmiňované vzorce nakonec nefungovaly, bod C jsem našel přes parametrickou rovnici přímky SC.
$x=\frac{x_{a}+x_{b}}{2}+(y_{b}-y_{a})s$
$y=\frac{y_{a}+y_{b}}{2}+(x_{a}-x_{b})s$
kde $s=\frac{v}{|AB|}$ osově souměrný bod C' dle úsečky AB je poté vypočítán pomocí $r=-s$ , kde $r$ se použije namísto $s$ v parametrických rovnicích.
Výsledkem snažení je pak toto: obrazky